泊松分布（Poisson Distribution）是一種離散型概率分布。泊松分布是描述某一特定時間或空間段內，某一事件發生的次數的分布。如機器每周發生故障的次數，某醫院婦產科2小時內出生的嬰兒個數，某服務臺在某時間段內到達的顧客次數等。

一、泊松分布律

泊松（Poisson）分布的分布律為：

其中，則稱X服從參數為的泊松分布，記為或。

這里的P即為等同區間內事件發生k次的概率；

X：事件次數的變量；

k:事件發生的次數，取值為0,1,2,3...

λ：區間內事件發生的平均次數（數學期望）

同時，顯然有：

二、泊松分布的數學期望與方差

三、適用條件

（1）事件發生是小概率事件；

（2）事件的發生是相互獨立的；

（3）事件在任意兩個等同的區間內發生的概率是穩定的。

四、泊松分布的特征

（1）泊松分布是一種描述和分析稀有事件的概率分布。要觀察到這類事件，樣本含量n必須很大。

（2）λ是泊松分布所依賴的唯一參數。λ值愈小，分布愈偏倚，隨著λ的增大，分布趨于對稱。

（3）當λ = 20時，泊松分布接近于正態分布；當λ = 50時，可以認為泊松分布呈正態分布。在實際工作中，當λ≥20時就可以用正態分布來近似地處理泊松分布的問題。

五、R語言中的相關函數與實例

1、相關函數

在R中，pois表示泊松分布，加上不同的前綴表示不同的函數，加上前綴d表示概率密度函數，加上前綴p表示分布函數，加前綴q表示分位函數，加前綴r表示隨機生成數，各函數的語法格式如下：

dpois( x, lambda, log = FALSE )   #發生x次隨機事件的概率

ppois( q, lambda, lower.tail = TRUE, log.p = FALSE ) # 至多發生q次事件的累計概率

qpois( p, lambda, lower.tail = TRUE, log.p = FALSE ) #在p概率下事件發生的次數

rpois( n, lambda ) #重復n組試驗，每組發生隨機事件的次數

函數中各參數的含義：

• x ：非負整數向量，事件發生的次數；
• q：數值向量；
• p：概率值向量
• n：整數值，隨機試驗的次數；
• lambda：非負數值，事件發生的平均次數；
• log,log.p：邏輯值，如果為TRUE，則概率p以log(p)的形式給出
• lower.tail：邏輯值，如果為TRUE（默認值），則概率是p[x≤ x],若為 FALSE 則為p[X>x]。

幾點說明：

（1）若x為非整數，dpois 的結果將會使0，并給出一個警告錯誤；

（2）分位數是右連續的，qpois(p, lambda) 表示x是最小整數的情況：P(X ≤ x) ≥ p；

（3）設置lower.tail = FALSE，可以得到更加精確的結果，而lower.tail = TRUE將返回1；

（4）無效的lambda值，將會返回NaN，并給出警告錯誤。

2、使用示例

（1）某銀行，顧客到達柜臺的平均值是5分鐘3.2名，計算：①接下來5分鐘內，有0名顧客、1名顧客和2名顧客到達的概率分別是多少？②在5分鐘內至多有7名顧客到達的概率是多少？③在5分鐘內有7名以上顧客到達的概率是多少？④在90%的概率下，5分鐘內至多有幾名顧客到達？

編寫R程序如下：

lmbda <- 3.2
# 5分鐘內0名、1名、2名顧客的概率
dpois(0:2, lmbda)

# 5分鐘至多7名顧客的概率
ppois(7, lmbda)

# 5分鐘有7名以上顧客到達的概率
1 - ppois(7, lmbda)

# 90%概率下，5分鐘內至多有幾名顧客到達
qpois(0.9,  lmbda)

運行結果如下圖所示：

（2）某工廠某種設備每周的平均故障臺數為2.3臺，求下周該設備沒有發生故障的概率，下周至多有3臺發生故障的概率；重復模擬10組試驗，每組發生故障的臺數是多少

編寫R程序如下：

lambda <- 2.3
# 下周沒有設備發生故障的概率
dpois(0, lambda)

#下周至多有3臺設備發生故障的概率
ppois(3, lambda)

#重復1000組試驗，每組發生故障的臺數
rpois(10, lambda)

在R中運行的結果如下圖所示：

我們也可以使用R繪制出泊松分布的概率密度圖，下例演示了均值為2，重復1000次情況下的直方圖。

x <- rpois(1000, 2)
hist(x)

繪圖結果之一如下（因為隨機生成，每次的結果并不一定相同）：

本文（完）