所謂排列，就是指從給定個(gè)數(shù)的元素中取出指定個(gè)數(shù)的元素進(jìn)行排序。組合則是指從給定個(gè)數(shù)的元素中僅僅取出指定個(gè)數(shù)的元素，不考慮排序。（摘自百度百科）

一、定義與公式

1、排列的定義及公式

從n個(gè)不同元素中，任取r（m≤r，r與n均為自然數(shù)，下同）個(gè)元素按照一定的順序排成一列，叫做從n個(gè)不同元素中取出r個(gè)元素的一個(gè)排列；從n個(gè)不同元素中取出r(r≤n）個(gè)元素的所有排列的個(gè)數(shù)，叫做從n個(gè)不同元素中取出r個(gè)元素的排列數(shù)，用符號(hào) p(n,r)表示。

其公式為：

2、組合的定義及公式

從n個(gè)不同元素中，任取r(r≤n）個(gè)元素并成一組，叫做從n個(gè)不同元素中取出r個(gè)元素的一個(gè)組合；從n個(gè)不同元素中取出r(r≤n）個(gè)元素的所有組合的個(gè)數(shù)，叫做從n個(gè)不同元素中取出r個(gè)元素的組合數(shù)。用符號(hào) C(n,r) 表示。

計(jì)算公式為：

同時(shí)，C^r_n = C^n-r_n

二、R中的相關(guān)函數(shù)

在R中可以使用prod函數(shù)計(jì)算排列問題，使用choose函數(shù)計(jì)算組合問題。

1、prod函數(shù)

prod函數(shù)計(jì)算數(shù)字的連乘積。其格式如下：

prod(..., na.rm = FALSE)

其中，...是參與計(jì)算的數(shù)字（復(fù)數(shù)、邏輯）向量；na.rm表示是否忽略缺失值（NA），默認(rèn)為FALSE。

注意：當(dāng)na.rm為FALSE時(shí)，參與計(jì)算的向量中若有NA值，則返回NA，否則會(huì)忽略向量中的NA值。

下面舉個(gè)例子說明該函數(shù)的使用：

> prod(1:8)
 [1] 40320

上面這個(gè)例子相當(dāng)于計(jì)算8的階乘：8! = 40320

> prod(3:5)
 [1] 60

上面這個(gè)例子相當(dāng)于計(jì)算：3 × 4 × 5 = 60

2、choose函數(shù)

choose函數(shù)的形式如下：

choose(n, k)

用于計(jì)算下列情形的問題：

n(n-1)…(n-k+1) / k! = n! / [(n-k)! k!] = C(n,k)

三、R中排列組合計(jì)算例子

1、從1~5五個(gè)數(shù)字中，任意抽取2個(gè)不同的數(shù)字，一共有多少種數(shù)字組合方法。

這是組合問題，沒有順序問題，則C(5, 2) = 5!/(3!×2!) = 10，即有10中組合情況。

在R中計(jì)算如下：

> choose(5, 2)
 [1]  10

在R中可以使用combn函數(shù)列出所有的組合情況，如本例中，可以使用下面的代碼，查看組合情況：

> combn(5, 2)
     [,1] [,2] [,3] [,4] [,5] [,6] [,7] [,8] [,9] [,10]
[1,]    1   1  1   1  2  2   2   3  3   4
[2,]    2   3  4   5  3  4   5   4  5   5
 

2、從1~5五個(gè)數(shù)字中，任意抽取2個(gè)不同的數(shù)字，如果考慮兩個(gè)數(shù)字抽取的先后順序，則有多少種情況。

因?yàn)檫@里考慮了抽取數(shù)字的先后順序，是排列問題，則A(5,2) = 5! / (5-2)! = 20，即有20種組合順序。

可能的組合為：

(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),
(2,1),(2,3),(2,4),(2,5),
(3,1),(3,2),(3,4),(3,5),
(4,1),(4,2),(4,3),(4,5),
(5,1),(5,2),(5,3),(5,4)

在R中計(jì)算如下：

> prod(1:5) / prod(1:3)
  [1] 20

或者使用下面的R語句：

> choose(5,2) * prod(1:2)
  [1] 20

也可以使用下面的R語句：

> choose(5,2) * factorial(2)
 [1] 20

后面兩種情況，利用了排列和組合公式之間的關(guān)系進(jìn)行推導(dǎo)而來的。

在第3個(gè)R代碼中使用了factorial()函數(shù)，該函數(shù)的作用計(jì)算某個(gè)數(shù)值的階乘，其原型如下：

factorial(x),這里當(dāng)x的值為0時(shí)，則返回1.其余返回x(x-1)....1的連乘積，相當(dāng)于prod(1:x)