所謂排列，就是指從給定個數的元素中取出指定個數的元素進行排序。組合則是指從給定個數的元素中僅僅取出指定個數的元素，不考慮排序。（摘自百度百科）

一、定義與公式

1、排列的定義及公式

從n個不同元素中，任取r（m≤r，r與n均為自然數，下同）個元素按照一定的順序排成一列，叫做從n個不同元素中取出r個元素的一個排列；從n個不同元素中取出r(r≤n）個元素的所有排列的個數，叫做從n個不同元素中取出r個元素的排列數，用符號 p(n,r)表示。

其公式為：

2、組合的定義及公式

從n個不同元素中，任取r(r≤n）個元素并成一組，叫做從n個不同元素中取出r個元素的一個組合；從n個不同元素中取出r(r≤n）個元素的所有組合的個數，叫做從n個不同元素中取出r個元素的組合數。用符號 C(n,r) 表示。

計算公式為：

同時，C^r_n = C^n-r_n

二、R中的相關函數

在R中可以使用prod函數計算排列問題，使用choose函數計算組合問題。

1、prod函數

prod函數計算數字的連乘積。其格式如下：

prod(..., na.rm = FALSE)

其中，...是參與計算的數字（復數、邏輯）向量；na.rm表示是否忽略缺失值（NA），默認為FALSE。

注意：當na.rm為FALSE時，參與計算的向量中若有NA值，則返回NA，否則會忽略向量中的NA值。

下面舉個例子說明該函數的使用：

> prod(1:8)
 [1] 40320

上面這個例子相當于計算8的階乘：8! = 40320

> prod(3:5)
 [1] 60

上面這個例子相當于計算：3 × 4 × 5 = 60

2、choose函數

choose函數的形式如下：

choose(n, k)

用于計算下列情形的問題：

n(n-1)…(n-k+1) / k! = n! / [(n-k)! k!] = C(n,k)

三、R中排列組合計算例子

1、從1~5五個數字中，任意抽取2個不同的數字，一共有多少種數字組合方法。

這是組合問題，沒有順序問題，則C(5, 2) = 5!/(3!×2!) = 10，即有10中組合情況。

在R中計算如下：

> choose(5, 2)
 [1]  10

在R中可以使用combn函數列出所有的組合情況，如本例中，可以使用下面的代碼，查看組合情況：

> combn(5, 2)
     [,1] [,2] [,3] [,4] [,5] [,6] [,7] [,8] [,9] [,10]
[1,]    1   1  1   1  2  2   2   3  3   4
[2,]    2   3  4   5  3  4   5   4  5   5
 

2、從1~5五個數字中，任意抽取2個不同的數字，如果考慮兩個數字抽取的先后順序，則有多少種情況。

因為這里考慮了抽取數字的先后順序，是排列問題，則A(5,2) = 5! / (5-2)! = 20，即有20種組合順序。

可能的組合為：

(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),
(2,1),(2,3),(2,4),(2,5),
(3,1),(3,2),(3,4),(3,5),
(4,1),(4,2),(4,3),(4,5),
(5,1),(5,2),(5,3),(5,4)

在R中計算如下：

> prod(1:5) / prod(1:3)
  [1] 20

或者使用下面的R語句：

> choose(5,2) * prod(1:2)
  [1] 20

也可以使用下面的R語句：

> choose(5,2) * factorial(2)
 [1] 20

后面兩種情況，利用了排列和組合公式之間的關系進行推導而來的。

在第3個R代碼中使用了factorial()函數，該函數的作用計算某個數值的階乘，其原型如下：

factorial(x),這里當x的值為0時，則返回1.其余返回x(x-1)....1的連乘積，相當于prod(1:x)