1.海明碼的概念

　　海明碼是一種可以糾正一位差錯(cuò)的編碼。它是利用在信息位為k位，增加r位冗余位，構(gòu)成一個(gè)n=k+r位的碼字，然后用r個(gè)監(jiān)督關(guān)系式產(chǎn)生的r個(gè)校正因子來區(qū)分無錯(cuò)和在碼字中的n個(gè)不同位置的一位錯(cuò)。它必需滿足以下關(guān)系式：
　　　　　　　　　２^r>=n+1  或  2^r>=k+r+1
　　海明碼的編碼效率為：
　　　　　　　　　　　　R=k/(k+r)
　　式中 k為信息位位數(shù)
　　　　 r為增加冗余位位數(shù)

　2.海明碼的生成與接收

　方法一：（按教科書）

　1)海明碼的生成。

　例1.已知：信息碼為："0010"。海明碼的監(jiān)督關(guān)系式為：
　　　　　　　　S₂=a₂+a₄+a₅+a₆
　　　　　　　　S₁=a₁+a₃+a₅+a₆
　　　　　　　　S₀=a₀+a₃+a₄+a₆
　　　　求：海明碼碼字。

　　解：1)由監(jiān)督關(guān)系式知冗余碼為a₂a₁a₀。
　　　　2)冗余碼與信息碼合成的海明碼是："0010a₂a₁a₀"。
　　　　　設(shè)S₂=S₁=S₀=0,由監(jiān)督關(guān)系式得：
　　　　　　　　a₂=a₄+a₅+a₆=1
　　　　　　　　a₁=a₃+a₅+a₆=0
　　　　　　　　a₀=a₃+a₄+a₆=1
　因此，海明碼碼字為："0010101"
　　　　
　2)海明碼的接收。

　例2.已知：海明碼的監(jiān)督關(guān)系式為：
　　　　　　　　S₂=a₂+a₄+a₅+a₆
　　　　　　　　S₁=a₁+a₃+a₅+a₆
　　　　　　　　S₀=a₀+a₃+a₄+a₆
　　　　　　接收碼字為："0011101"(n=7)

　　　　求：發(fā)送端的信息碼。

　　解：1)由海明碼的監(jiān)督關(guān)系式計(jì)算得S₂S₁S₀=011。
　　　　2)由監(jiān)督關(guān)系式可構(gòu)造出下面錯(cuò)碼位置關(guān)系表：

　　　　3)由S₂S₁S₀=011查表得知錯(cuò)碼位置是a₃。
　　　　4)糾錯(cuò)--對碼字的a₃位取反得正確碼字："0 0 1 0 1 0 1"
　　　　5)把冗余碼a₂a₁a₀刪除得發(fā)送端的信息碼："0010"

　方法二：(不用查表，方便編程)

　1)海明碼的生成（順序生成法）。

　例3.已知：信息碼為：" 1 1 0 0 1 1 0 0 "　(k=8)
　　　　求：海明碼碼字。
　　解：1)把冗余碼A、B、C、…，順序插入信息碼中，得海明碼
　　　　　　碼字:" A B 1 C 1 0 0 D 1 1  0  0 "
　　　　  　碼位:　1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12  
　　　　　其中A,B,C,D分別插于2^k位(k=0,1,2,3)。碼位分別為1,2,4,8。
　　　　2)冗余碼A,B,C,D的線性碼位是：(相當(dāng)于監(jiān)督關(guān)系式)
　　　　　　A->1,3,5,7,9,11；
　　　　　　B->2,3,6,7,10,11； 
　　　　　　C->4,5,6,7,12；(注 5=4+1；6=4+2；7=4+2+1；12=8+4)
　　　　　　D->8,9,10,11,12。
　　　　3)把線性碼位的值的偶校驗(yàn)作為冗余碼的值(設(shè)冗余碼初值為0)：
　　　　　　A=∑(0,1,1,0,1,0)=1
　　　　　　B=∑(0,1,0,0,1,0)=0
　　　　　　C=∑(0,1,0,0,0)　=1
　　　　　　D=∑(0,1,1,0,0)　=0
　　　　4)海明碼為:"1 0 1 1 1 0 0 0 1 1 0 0"

　2)海明碼的接收。

　例4.已知：接收的碼字為："1 0 0 1 1 0 0 0 1 1 0 0"(k=8)
　　　　求：發(fā)送端的信息碼。
　　解：1)設(shè)錯(cuò)誤累加器(err)初值=0
　　　　2)求出冗余碼的偶校驗(yàn)和，并按碼位累加到err中：
　　　　　　A=∑(1,0,1,0,1,0)=1　err=err+2⁰=1
　　　　　　B=∑(0,0,0,0,1,0)=1　err=err+2¹=3
　　　　　　C=∑(1,1,0,0,0)　=0　err=err+0 =3
　　　　　　D=∑(0,1,1,0,0)　=0　err=err+0 =3
　　　　　由err≠0可知接收碼字有錯(cuò)，
　　　　3)碼字的錯(cuò)誤位置就是錯(cuò)誤累加器(err)的值3。
　　　　4)糾錯(cuò)--對碼字的第3位值取反得正確碼字：
　　　　　　"1 0 1 1 1 0 0 0 1 1 0 0"
　　　　5)把位于2^k位的冗余碼刪除得信息碼："1 1 0 0 1 1 0 0"