今天來分享一下圖，這是一種比較復雜的非線性數據結構，之所以復雜是因為他們的數據元素之間的關系是任意的，而不像樹那樣 被幾個性質定理框住了，元素之間的關系還是比較明顯的，圖的使用范圍很廣的，比如網絡爬蟲，求最短路徑等等，不過大家也不要膽怯，
越是復雜的東西越能體現我們碼農的核心競爭力。
既然要學習圖，得要遵守一下圖的游戲規則。
一： 概念
圖是由“頂點”的集合和“邊”的集合組成。記作：G=（V,E)；
<1> 無向圖
就是“圖”中的邊沒有方向，那么（V1,V2)這條邊自然跟（V2，V1）是等價的，無向圖的表示一般用”圓括號“。
<2> 有向圖
“圖“中的邊有方向，自然<V1,V2>這條邊跟<V2,V1>不是等價的，有向圖的表示一般用"尖括號"表示。
<3> 鄰接點
一條邊上的兩個頂點叫做鄰接點，比如（V1，V2），（V1，V3），（V1，V5），只是在有向圖中有一個“入邊，出邊“的
概念，比如V3的入邊為V5，V3的出邊為V2，V1，V4。
<4> 頂點的度
這個跟“樹”中的度的意思一樣。不過有向圖中也分為“入度”和“出度”兩種，這個相信大家懂的。
<5> 完全圖
每兩個頂點都存在一條邊，這是一種完美的表現，自然可以求出邊的數量。
無向圖：edges=n(n-1)/2;
有向圖：edges=n(n-1); //因為有向圖是有邊的，所以必須在原來的基礎上"X2"。
<6> 子圖
如果G1的所有頂點和邊都在G2中，則G1是G2的子圖，具體不說了。
<7> 路徑，路徑長度和回路（這些概念還是比較重要的）
路徑： 如果Vm到Vn之間存在一個頂點序列。則表示Vm到Vn是一條路徑。
路徑長度： 一條路徑中“邊的數量”。
簡單路徑： 若一條路徑上頂點不重復出現，則是簡單路徑。
回路： 若路徑的第一個頂點和最后一個頂點相同，則是回路。
簡單回路： 第一個頂點和最后一個頂點相同，其它各頂點都不重復的回路則是簡單回路。
<8> 連通圖和連通分量（針對無向圖而言的）
連通圖： 無向圖中，任意兩個頂點都是連通的則是連通圖，比如V1，V2，V4之間。
連通分量： 無向圖的極大連通子圖就是連通分量，一般”連通分量“就是”圖“本身，除非是“非連通圖”，
如下圖就是兩個連通分量。
<9> 強連通圖和強連通分量（針對有向圖而言）
這里主要注意的是“方向性“，V4可以到V3，但是V3無法到V4，所以不能稱為強連通圖。
<10> 網
邊上帶有”權值“的圖被稱為網。很有意思啊，呵呵。
二：存儲
圖的存儲常用的是”鄰接矩陣”和“鄰接表”。
鄰接矩陣： 手法是采用兩個數組，一個一維數組用來保存頂點信息，一個二維數組來用保存邊的信息，
缺點就是比較耗費空間。
鄰接表： 改進后的“鄰接矩陣”，缺點是不方便判斷兩個頂點之間是否有邊，但是相比節省空間。
三： 創建圖
這里我們就用鄰接矩陣來保存圖，一般的操作也就是：①創建，②遍歷
//保存邊信息
public int[,] edges;
//深搜和廣搜的遍歷標志
public bool[] isTrav;
//頂點數量
public int vertexNum;
//邊數量
public int edgeNum;
//圖類型
public int graphType;
/// <summary>
/// 存儲容量的初始化
/// </summary>
/// <param name="vertexNum"></param>
/// <param name="edgeNum"></param>
/// <param name="graphType"></param>
public MatrixGraph(int vertexNum, int edgeNum, int graphType)
{
this.vertexNum = vertexNum;
this.edgeNum = edgeNum;
this.graphType = graphType;
vertex = new string[vertexNum];
edges = new int[vertexNum, vertexNum];
isTrav = new bool[vertexNum];
}
}
#endregion
<1> 創建圖很簡單，讓用戶輸入一些“邊，點，權值"來構建一下圖
var initData = Console.ReadLine().Split(',').Select(i => int.Parse(i)).ToList();
MatrixGraph graph = new MatrixGraph(initData[0], initData[1], initData[2]);
Console.WriteLine("請輸入各頂點信息：");
for (int i = 0; i < graph.vertexNum; i++)
{
Console.Write("/n第" + (i + 1) + "個頂點為:");
var single = Console.ReadLine();
//頂點信息加入集合中
graph.vertex[i] = single;
}
Console.WriteLine("/n請輸入構成兩個頂點的邊和權值，以逗號隔開。/n");
for (int i = 0; i < graph.edgeNum; i++)
{
Console.Write("第" + (i + 1) + "條邊:/t");
initData = Console.ReadLine().Split(',').Select(j => int.Parse(j)).ToList();
int start = initData[0];
int end = initData[1];
int weight = initData[2];
//給矩陣指定坐標位置賦值
graph.edges[start - 1, end - 1] = weight;
//如果是無向圖，則數據呈“二，四”象限對稱
if (graph.graphType == 1)
{
graph.edges[end - 1, start - 1] = weight;
}
}
return graph;
}
#endregion
<2>廣度優先
針對下面的“圖型結構”，我們如何廣度優先呢？其實我們只要深刻理解"廣搜“給我們定義的條條框框就行了。 為了避免同一個頂點在遍歷時被多
次訪問，可以將”頂點的下標”存放在sTrav[]的bool數組，用來標識是否已經訪問過該節點。
第一步：首先我們從isTrav數組中選出一個未被訪問的節點，如V1。
第二步：訪問V1的鄰接點V2，V3，V5，并將這三個節點標記為true。
第三步：第二步結束后，我們開始訪問V2的鄰接點V1，V3，但是他們都是被訪問過的。
第四步：我們從第二步結束的V3出發訪問他的鄰接點V2，V1，V5，V4，還好V4是未被訪問的，此時標記一下。
第五步：我們訪問V5的鄰接點V1，V3，V4，不過都是已經訪問過的。
第六步：有的圖中通過一個頂點的“廣度優先”不能遍歷所有的頂點，此時我們重復（1-5）的步驟就可以最終完成廣度優先遍歷。
//遍歷每個頂點
for (int i = 0; i < graph.vertexNum; i++)
{
//廣度遍歷未訪問過的頂點
if (!graph.isTrav[i])
{
BFSM(ref graph, i);
}
}
}
/// <summary>
/// 廣度遍歷具體算法
/// </summary>
/// <param name="graph"></param>
public void BFSM(ref MatrixGraph graph, int vertex)
{
//這里就用系統的隊列
Queue<int> queue = new Queue<int>();
//先把頂點入隊
queue.Enqueue(vertex);
//標記此頂點已經被訪問
graph.isTrav[vertex] = true;
//輸出頂點
Console.Write(" ->" + graph.vertex[vertex]);
//廣度遍歷頂點的鄰接點
while (queue.Count != 0)
{
var temp = queue.Dequeue();
//遍歷矩陣的橫坐標
for (int i = 0; i < graph.vertexNum; i++)
{
if (!graph.isTrav[i] && graph.edges[temp, i] != 0)
{
graph.isTrav[i] = true;
queue.Enqueue(i);
//輸出未被訪問的頂點
Console.Write(" ->" + graph.vertex[i]);
}
}
}
}
#endregion
<3> 深度優先
同樣是這個圖，大家看看如何實現深度優先，深度優先就像鐵骨錚錚的好漢，遵循“能進則進，不進則退”的原則。
第一步：同樣也是從isTrav數組中選出一個未被訪問的節點，如V1。
第二步：然后一直訪問V1的鄰接點，一直到走頭無路的時候“回溯”，路線為V1,V2,V3,V4,V5，到V5的時候訪問鄰接點V1，發現V1是訪問過的，
此時一直回溯的訪問直到V1。
第三步： 同樣有的圖中通過一個頂點的“深度優先”不能遍歷所有的頂點，此時我們重復（1-2）的步驟就可以最終完成深度優先遍歷。
//遍歷每個頂點
for (int i = 0; i < graph.vertexNum; i++)
{
//廣度遍歷未訪問過的頂點
if (!graph.isTrav[i])
{
DFSM(ref graph, i);
}
}
}
#region 深度遞歸的具體算法
/// <summary>
/// 深度遞歸的具體算法
/// </summary>
/// <param name="graph"></param>
/// <param name="vertex"></param>
public void DFSM(ref MatrixGraph graph, int vertex)
{
Console.Write("->" + graph.vertex[vertex]);
//標記為已訪問
graph.isTrav[vertex] = true;
//要遍歷的六個點
for (int i = 0; i < graph.vertexNum; i++)
{
if (graph.isTrav[i] == false && graph.edges[vertex, i] != 0)
{
//深度遞歸
DFSM(ref graph, i);
}
}
}
#endregion
#endregion
最后上一下總的代碼
namespace MatrixGraph
{
public class Program
{
static void Main(string[] args)
{
MatrixGraphManager manager = new MatrixGraphManager();
//創建圖
MatrixGraph graph = manager.CreateMatrixGraph();
manager.OutMatrix(graph);
Console.Write("廣度遞歸:/t");
manager.BFSTraverse(graph);
Console.Write("/n深度遞歸:/t");
manager.DFSTraverse(graph);
Console.ReadLine();
}
}
#region 鄰接矩陣的結構圖
/// <summary>
/// 鄰接矩陣的結構圖
/// </summary>
public class MatrixGraph
{
//保存頂點信息
public string[] vertex;
//保存邊信息
public int[,] edges;
//深搜和廣搜的遍歷標志
public bool[] isTrav;
//頂點數量
public int vertexNum;
//邊數量
public int edgeNum;
//圖類型
public int graphType;
/// <summary>
/// 存儲容量的初始化
/// </summary>
/// <param name="vertexNum"></param>
/// <param name="edgeNum"></param>
/// <param name="graphType"></param>
public MatrixGraph(int vertexNum, int edgeNum, int graphType)
{
this.vertexNum = vertexNum;
this.edgeNum = edgeNum;
this.graphType = graphType;
vertex = new string[vertexNum];
edges = new int[vertexNum, vertexNum];
isTrav = new bool[vertexNum];
}
}
#endregion
/// <summary>
/// 圖的操作類
/// </summary>
public class MatrixGraphManager
{
#region 圖的創建
/// <summary>
/// 圖的創建
/// </summary>
/// <param name="g"></param>
public MatrixGraph CreateMatrixGraph()
{
Console.WriteLine("請輸入創建圖的頂點個數，邊個數，是否為無向圖(0,1來表示)，已逗號隔開。");
var initData = Console.ReadLine().Split(',').Select(i => int.Parse(i)).ToList();
MatrixGraph graph = new MatrixGraph(initData[0], initData[1], initData[2]);
Console.WriteLine("請輸入各頂點信息：");
for (int i = 0; i < graph.vertexNum; i++)
{
Console.Write("/n第" + (i + 1) + "個頂點為:");
var single = Console.ReadLine();
//頂點信息加入集合中
graph.vertex[i] = single;
}
Console.WriteLine("/n請輸入構成兩個頂點的邊和權值，以逗號隔開。/n");
for (int i = 0; i < graph.edgeNum; i++)
{
Console.Write("第" + (i + 1) + "條邊:/t");
initData = Console.ReadLine().Split(',').Select(j => int.Parse(j)).ToList();
int start = initData[0];
int end = initData[1];
int weight = initData[2];
//給矩陣指定坐標位置賦值
graph.edges[start - 1, end - 1] = weight;
//如果是無向圖，則數據呈“二，四”象限對稱
if (graph.graphType == 1)
{
graph.edges[end - 1, start - 1] = weight;
}
}
return graph;
}
#endregion
#region 輸出矩陣數據
/// <summary>
/// 輸出矩陣數據
/// </summary>
/// <param name="graph"></param>
public void OutMatrix(MatrixGraph graph)
{
for (int i = 0; i < graph.vertexNum; i++)
{
for (int j = 0; j < graph.vertexNum; j++)
{
Console.Write(graph.edges[i, j] + "/t");
}
//換行
Console.WriteLine();
}
}
#endregion
#region 廣度優先
/// <summary>
/// 廣度優先
/// </summary>
/// <param name="graph"></param>
public void BFSTraverse(MatrixGraph graph)
{
//訪問標記默認初始化
for (int i = 0; i < graph.vertexNum; i++)
{
graph.isTrav[i] = false;
}
//遍歷每個頂點
for (int i = 0; i < graph.vertexNum; i++)
{
//廣度遍歷未訪問過的頂點
if (!graph.isTrav[i])
{
BFSM(ref graph, i);
}
}
}
/// <summary>
/// 廣度遍歷具體算法
/// </summary>
/// <param name="graph"></param>
public void BFSM(ref MatrixGraph graph, int vertex)
{
//這里就用系統的隊列
Queue<int> queue = new Queue<int>();
//先把頂點入隊
queue.Enqueue(vertex);
//標記此頂點已經被訪問
graph.isTrav[vertex] = true;
//輸出頂點
Console.Write(" ->" + graph.vertex[vertex]);
//廣度遍歷頂點的鄰接點
while (queue.Count != 0)
{
var temp = queue.Dequeue();
//遍歷矩陣的橫坐標
for (int i = 0; i < graph.vertexNum; i++)
{
if (!graph.isTrav[i] && graph.edges[temp, i] != 0)
{
graph.isTrav[i] = true;
queue.Enqueue(i);
//輸出未被訪問的頂點
Console.Write(" ->" + graph.vertex[i]);
}
}
}
}
#endregion
#region 深度優先
/// <summary>
/// 深度優先
/// </summary>
/// <param name="graph"></param>
public void DFSTraverse(MatrixGraph graph)
{
//訪問標記默認初始化
for (int i = 0; i < graph.vertexNum; i++)
{
graph.isTrav[i] = false;
}
//遍歷每個頂點
for (int i = 0; i < graph.vertexNum; i++)
{
//廣度遍歷未訪問過的頂點
if (!graph.isTrav[i])
{
DFSM(ref graph, i);
}
}
}
#region 深度遞歸的具體算法
/// <summary>
/// 深度遞歸的具體算法
/// </summary>
/// <param name="graph"></param>
/// <param name="vertex"></param>
public void DFSM(ref MatrixGraph graph, int vertex)
{
Console.Write("->" + graph.vertex[vertex]);
//標記為已訪問
graph.isTrav[vertex] = true;
//要遍歷的六個點
for (int i = 0; i < graph.vertexNum; i++)
{
if (graph.isTrav[i] == false && graph.edges[vertex, i] != 0)
{
//深度遞歸
DFSM(ref graph, i);
}
}
}
#endregion
#endregion
}
}
代碼中我們構建了如下的“圖”。
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