均勻分布也稱矩形分布，是最簡單的一種連續(xù)型分布。

一、均勻分布

若隨機(jī)變量X的概率密度函數(shù)為：

則稱X服從區(qū)間[a, b]上的均勻分布，記為X~U[a, b]。

概率密度圖像如下圖所示：

其分布函數(shù)為：

分布函數(shù)是概率密度函數(shù)從負(fù)無窮到正無窮上的積分；在坐標(biāo)軸上，概率密度函數(shù)的函數(shù)值y表示落在x點上的概率為y；分布函數(shù)的函數(shù)值y則表示x落在區(qū)間(-∞，+∞）上的概率。

分布函數(shù)圖像如下圖所示：

均勻分布的數(shù)學(xué)期望與方差分別為：

二、R語言與均勻分布相關(guān)的函數(shù)

在R中，unif是用來進(jìn)行均勻分布分析的，在其前面加上不同的前綴表示不同的函數(shù)，各函數(shù)的使用格式如下所示：

dunif(x, min = 0, max = 1, log = FALSE)  # 分布密度
punif(q, min = 0, max = 1, lower.tail = TRUE, log.p = FALSE)  # 分布函數(shù)
qunif(p, min = 0, max = 1, lower.tail = TRUE, log.p = FALSE)  # 分位數(shù)函數(shù)
runif(n, min = 0, max = 1)  # 隨機(jī)數(shù)產(chǎn)生函數(shù)

各參數(shù)的主要含義如下：

x, q ： 數(shù)值向量

p ： 概率向量

n ： 觀測次數(shù)值

min, max ： 均勻分布的下限和上限，必須是有限的值，min相當(dāng)于密度函數(shù)或分布函數(shù)中的a，默認(rèn)值為0，max相當(dāng)于b，默認(rèn)值為1；

log, log.p： 邏輯值，默認(rèn)為FALSE.指定為TRUE時，概率值p是以log(p)給出的；

lower.tail ： 邏輯值，默認(rèn)為TRUE. 指定為TRUE時，概率是P [ X ≤ x ]，否則是 P [ X ＞ x ].

三、均勻分布使用案例

設(shè)電阻R是隨機(jī)變量，其值均勻分布在900Ω~1100Ω。

（1）求該區(qū)間內(nèi)的分布密度；

（2）求電阻不超過950Ω的概率；

（3）求電阻超過950Ω的概率；

（4）在90%概率下，電阻值最大為多少；

（5）隨機(jī)生成5個符合該均勻分布的電阻值。

由題意可知：其分布函數(shù) f(r) = 1/(1100-900) = 1/200 ( 900 ≤ r ≤ 1100）

（1）因為是均勻分布，使用R語言進(jìn)行求值時，選取[900, 1100]中任何一個值，其概率密度值都是一樣的。

（2）即求 P(r ≤ 950)的概率，使用分布函數(shù)可以方便求出；

（3）即求p(r>950)的概率，可以使用 1 - p(r≤950) 計算得出。

（4）實際上相當(dāng)于“電阻值不大于r的概率是90%，求x”，可以使用分位函數(shù)來求；

（5）使用runif()函數(shù)可以獲得這樣的隨機(jī)值。

編寫R程序如下：

a <- 900
b <- 1100

# 計算概率密度
f <- dunif(900, a, b) 
cat("概率密度為：", f, "/n")

p <- punif(950, a, b)
cat("電阻不超過950歐姆的概率為：", p, "/n")

p <- 1 - punif(950, a, b)
cat("電阻超過950歐姆的概率為：", p, "/n")

R <- qunif(0.9, a, b)
cat("90%概率下，電阻值最大為：", R, "/n")

# 隨機(jī)生成5個符合該均勻分布的隨機(jī)電阻值
runif(5, a, b)

在R運行結(jié)果如下圖所示：

本文（完）