笛卡爾乘積介紹

2020-02-02 19:01:08

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供稿：網(wǎng)友

笛卡爾（Descartes）乘積又叫直積。假設(shè)集合A={a,b}，集合B={0,1,2}，則兩個集合的笛卡爾積為{(a,0),(a,1),(a,2),(b,0),(b,1), (b,2)}?？梢詳U展到多個集合的情況。類似的例子有，如果A表示某學(xué)校學(xué)生的集合，B表示該學(xué)校所有課程的集合，則A與B的笛卡爾積表示所有可能的選課情況。

在數(shù)學(xué)中，兩個集合 X 和 Y 的笛卡兒積（Cartesian product），又稱直積，表示為 X × Y，是其第一個對象是 X 的成員而第二個對象是 Y 的一個成員的所有可能的有序?qū)Γ?/P>

$X/times Y = /{(x,y) / | / x/in X/;/land/;y/in Y/}$ 。

笛卡兒積得名于笛卡兒，他的解析幾何的公式化引發(fā)了這個概念。

具體的說，如果集合 X 是 13 個元素的點數(shù)集合 { A, K, Q, J, 10, 9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2 } 而集合 Y 是 4 個元素的花色集合 {♠, ♥, ♦, ♣}，則這兩個集合的笛卡兒積是 52 個元素的標(biāo)準(zhǔn)撲克牌的集合 { (A, ♠), (K, ♠), ..., (2, ♠), (A, ♥), ..., (3, ♣), (2, ♣) }。

1 笛卡兒積的性質(zhì)
2 笛卡兒平方和 n-元乘積
3 無窮乘積
4 函數(shù)的笛卡兒積
5 外部鏈接
6 參見笛卡兒積的性質(zhì)

易見笛卡兒積滿足下列性質(zhì)：

對于任意集合 A，根據(jù)定義有 $A /times /varnothing = /varnothing /times A = /varnothing$
一般來說笛卡兒積不滿足交換律和結(jié)合律。
笛卡兒積對集合的并和交滿足分配律，即

$A /times (B /cup C) = (A /times B) /cup (A /times C)$

$(B /cup C) /times A = (B /times A) /cup (C /times A)$

$A /times (B /cap C) = (A /times B) /cap (A /times C)$

$(B /cap C) /times A = (B /times A) /cap (C /times A)$

$(A /times B) /cap (C /times D) = (A /cap C) /times (B /cap D)$

笛卡兒平方和 n-元乘積

集合 X 的笛卡兒平方(或二元笛卡兒積)是笛卡兒積 X × X。一個例子是二維平面 R × R，這里 R 是實數(shù)的集合 - 所有的點 (x,y)，這里的 x 和 y 是實數(shù)(參見笛卡兒坐標(biāo)系)。

可以推廣出在 n 個集合 X1, ..., Xn 上的 n-元笛卡兒積:

$X_1/times/ldots/times X_n = /{(x_1, /ldots, x_n) / | / x_1/in X_1/;/land/;/ldots/;/land/;x_n/in X_n/}$ 。

實際上，它可以被認(rèn)同為 (X1 × ... × Xn-1) × Xn。它也是 n-元組的集合。

一個例子是歐幾里得三維空間 R × R × R，這里的 R 再次是實數(shù)的集合。

為了輔助它的計算，可繪制一個表格。一個集合作為行而另一個集合作為列，從行和列的集合選擇元素形成有序?qū)ψ鳛楸淼膯卧瘛?/P>無窮乘積

對最常用的數(shù)學(xué)應(yīng)用而言上述定義通常就是所需要的全部。但是有可能在任意(可能無限)的集合的搜集上定義笛卡兒積。如果 I 是任何指標(biāo)集合，而

$/{X_i/ | i /in I/}$

是由 I 索引的集合的搜集，則我們定義

$/prod_{i /in I} X_i = /{ f : I /to /bigcup_{i /in I} X_i/ |/ (/forall i)(f(i) /in X_i)/}$ ，

就是定義在索引集合上的所有函數(shù)的集合，使得這些函數(shù)在特定索引 i 上的值是 Xi 的元素。

對在 I 中每個 j，定義自

$/pi_{j}(f) = f(j) /$

的函數(shù)

$/pi_{j} : /prod_{i /in I} X_i /to X_{j} /$

叫做第 j 投影映射。

n-元組可以被看作在 {1, 2, ..., n} 上的函數(shù)，它在 i 上的值是這個元組的第 i 個元素。所以，在 I 是 {1, 2, ..., n} 的時候這個定義一致于對有限情況的定義。在無限情況下這個定義是集合族。

特別熟悉的一個無限情況是在索引集合是自然數(shù)的集合 $/mathbb N,$ 的時候: 這正是其中第 i 項對應(yīng)于集合 Xi 的所有無限序列的集合。再次， $/mathbb R$ 提供了這樣的一個例子:

$/prod_{n = 1}^/infty /mathbb R =/mathbb{R}^/omega= /mathbb R /times /mathbb R /times /ldots$

是實數(shù)的無限序列的搜集，并且很容易可視化為帶有有限數(shù)目構(gòu)件的向量或元組。另一個特殊情況(上述例子也滿足它)是在乘積涉及因子 Xi 都是相同的時候，類似于“笛卡兒指數(shù)”。則在定義中的無限并集自身就是這個集合自身，而其他條件被平凡的滿足了，所以這正是從 I 到 X 的所有函數(shù)的集合。

此外，無限笛卡兒積更少直覺性，盡管有應(yīng)用于高級數(shù)學(xué)的價值。

斷言非空集合的任意非空搜集的笛卡兒積為非空等價于選擇公理。

函數(shù)的笛卡兒積

如果 f 是從 A 到 B 的函數(shù)而 g 是從 X 到 Y 的函數(shù)，則它們的笛卡兒積 f×g 是從 A×X 到 B×Y 的函數(shù)，帶有