在《編程珠璣》一書里提到了一種算法導論里沒有提到過的位圖排序方法，這種排序方法是通過犧牲空間效率來追求時間效率（線性時間）以達到時間-空間折中與雙贏的目的。本文以實例形式簡單講一下位圖排序思想。

一、問題描述

     1.輸入：一個至多包含1千萬個非負整數的文件

     2.特征：①每個數都是小于10000000的非負整數；②沒有重復的數字；③數據之間不存在關聯關系。

     3.約束：①最多1MB的內存空間可用；②磁盤空間充足；③運行時間最多幾分鐘，最好是線性時間。
    
     4.輸出：按升序排列的整數序列。

二、位圖排序思想

由于待排序的數據記錄較多，我們單純地使用常見的排序方法時間效率較低，運行時間會很長。而且內存空間有限（限制為1MB左右），所以我們不能同時把所有整數讀入內存（如果每個整數使用7個字節來存儲，那么1MB內存空間只能存大約143000個數字）。當然我們可以多次讀取輸入文件，多次排序，但是更好的方案是使用位圖排序，可以使用有限的1MB內存空間并只進行一趟排序。

1.根據待排序集合中最大的數，開辟一個位數組，用來表示待排序集合中的整數；

2.待排序集合中的數字在位數組中的對應位置置1，其他的置0；

例如，待排序集合{1,2,3,5,8,13}可以表示為：0-1-1-1-0-1-0-0-1-0-0-0-0-1

這樣排序過程自然可以分為三步：

第一步：將所有的位都置為0；

第二步：通過讀入文件中的每個整數，將每個對應的位都置為1；

第三步：檢驗每一位，如果該位為1，輸出對應的整數。

注意：位圖排序是使用一個二進制位而不是一個整數來表示0或1，這樣可以大大地減少所需要的內存空間。使用位圖排序的前提是要知道待排序序列中的最大數。位圖排序的缺點是有些數沒有出現過，仍要為其保留一個位。故位圖排序比較適合關鍵字密集的序列，例如一個城市的電話號碼。

偽代碼如下：

/*Phase 1: initialize set to empty*/   for i = [0, n)     bit[i] = 0 /*Phase 2: insert present elements into the set*/   for each i in the input file     bit[i] = 1 /*Phase 3: write sorted output*/   for i = [0, n)     if bit[i] == 1       write i on the output file 

性能：時間復雜度可達O(n)，1MB包含8*1024*1024個位，所需內存10000000/(8*1024*1024)=1.20MB，如果不是嚴格限制的話可以看做基本符合要求。

三、位圖排序實現

位圖排序時，我們需要考慮：給出一個數，如何找到其對應位圖的位置，方法就是首先找到該數對應的字節，然后在找到該數對應的位。例如：

unsigned char bitmap[2]; /* 可以表示16個數，即0～15 */ 

一個字節有八位，5表示第0個字節的第5位上；14表示第1個字節的第6個位上。

在這里為了簡化位處理，我們使用C++標準庫的bitset容器。bitset是C++提供的一種位集合的數據結構，它讓我們可以像使用數組一樣使用位，可以訪問指定下標的bit位。和其他容器一樣，bitset也是一個模板類。具體的bitset方法可以查看std::bitset reference。

下面我們使用bitset容器進行位圖排序：

/*************************************************************************   > File Name: BitSort.cpp   > Author: SongLee  ************************************************************************/ #include<bitset> #include<iostream> using namespace std;  #define MAX 20  int main() {   int arr[10] = {5,1,2,13,7,10,0,20,16,9};    bitset<MAX+1> bit;      /* 將對應位置置1 */   for(int i=0; i<10; ++i)   {     bit.set(arr[i]);     /* bit.set(n)表示將第n位置1 */   }    /* 輸出排序結果 */   for(int i=0; i<MAX+1; ++i)   {     /* bit.test(n)判斷第n位是否為1 */     if(bit.test(i))     {       cout << i << " ";     }   }   cout << endl; } 

輸出結果：0 1 2 5 7 9 10 13 16 20