Java位運算優化：位域、位圖棋盤等(組圖)

2019-11-18 11:58:44

字體：大中小

來源：轉載

供稿：網友

　　快速小測試：如何重寫下面的語句？要求不使用條件判定語句交換兩個常量的值。
　　if (x == a) x= b;
　　else x= a;
　　
　　答案：
　　x= a ^ b ^ x;
　　
　　//此處變量x等于a或者等于b
　　
　　字符^是邏輯異或XOR運算符。上面代碼為什么能工作呢？使用XOR運算符，一個變量執行2次異或運算與另一個變量，總是返回變量自身。
　　　 Java位運算優化：位域、位圖棋盤等(組圖)（圖一）

　　雖然java位操作的魔術不是很普及，但是深入研究此技術有助于改善程序性能。在作者的機器配置下進行基準測試，重寫版本需5.2秒，使用邏輯判定的版本需5.6秒。(測試代碼參見資源部分)。減少使用判定語句通常可以提高在現代多管道處理器上的程序性能。
　　
　　對于Java程序員來說，非凡有益的是一些用來處理所謂bitsets位集的技巧。 Java語言中的原始類型int和long也可被視為32位或64位的位集合?？梢越M合這些簡單的結構來表示大型數據結構，比如數組。另外，還有一些特定的運算(bit-parallel 并行位運算),可以有效的將多個不同的運算壓縮為一個運算。使用以bit為單位的細粒度數據,而不是以integer整數為運算單位，我們會發現——對于integer整數來說有時進行的僅僅一步運算，假如使用bit位作為運算單位實際上可能進行了許多操作?？梢哉J為Java語言中的位并行運算是軟件多通路技術的一種應用。
　　
　　高級對弈程序如Crafty(使用C語言編寫)使用了非凡的數據結構——bitboard位圖棋盤來表示棋子的位置，這樣比使用數組的速度快很多。與C程序員相比，Java程序員更不應該使用數組。與C語言中數組的高效實現相比，Java語言中的數組實現(雖然提供了邊界檢查以及GC機制等額外功能)效率低下。為比較使用整數方案以及使用數組方案的性能，在作者機器(Windows xp, AMD Athlon, 熱部署Java虛擬機？)上進行的簡單測試顯示使用數組方案的運行時間是使用整數方案的160%，并且此處未考慮無用單元回收(garbage collection)對性能的影響。在某些情況下，可以使用整數位集替代數組。
　　
　　下面會探討一下從匯編語言時代就存在的古董技巧，同時非凡關注這些技巧在位集上的應用。Java作為可移植語言本身對位運算提供了良好的支持。進一步，Java Tiger版本的API中又添加了一些用于位處理的方法。
　　
　　典型Java環境下的位優化
　　
　　Java程序運行在機器和操作系統之上，但是與機器和操作系統中充斥的位運算不同，Java程序基本上不包含大量的位運算。雖然現代CPU提供了非凡的位操作指令，不過在Java語言中無法執行這些非凡指令。JVM僅提供了有符號移位、無符號移位、位異或(bitewise XOR)、位或(bitwise OR)、位并(bitwise AND)以及位否(bitwise NOT)等位運算。有意思的是，并不僅僅是Java沒有提供額外的位運算，很多匯編程序員編寫操作CPU的程序時，也會發現缺少同樣的位運算指令。兩類程序員在位運算上的境遇其實一樣。匯編程序員不得不通過軟件模擬來實現這些指令，同時盡可能的保證效率。 Tiger版本的Java中許多方法也是通過使用純java代碼來模擬實現這些指令的。
　　
　　進行性能微調操作的C程序員可能會審查實際產生的匯編代碼、參考目標CPU的優化器手冊、統計代碼執行的指令周期數目等方式來改善程序性能。與之相對，在Java程序里進行這樣的底層優化的一個實際問題是無法確定優化的效果。Sun公司的Java虛擬機規范(JVM spec)未給出某特定操作執行的相對速度?？梢詫⒆约赫J為執行速度快的代碼一部分再一部分的在Java虛擬機中執行，結果只能令人震動——速度沒有提高甚至優化部分可能降低原來程序性能。 Java虛擬機可能會攪亂破壞你做出的優化，也可能在內部對一般的代碼優化。在任何情況下，通過JVM實現優化, 即使編譯過后的程序提供這樣的支持，相應得優化也需要進行基準測試。
　　
　　標準的查看字節碼的工具是JDK中包含的javap命令。Eclipse的使用者也可以利用由Andrei Loskutov開發的字節碼查看插件。 Sun的網站上提供了JVM設計和指令集合的參考書的在線版本。注重，每個Java虛擬機內包含兩種類型的內存. 一種是棧(stack)，用來存儲局部原始類型變量和表達式；另一種是堆(heap),用來存儲對象和數組。堆內存儲的對象會被無用單元回收機制處理，而棧具有固定大小的內存塊。雖然大多數程序僅僅使用了?？臻g的很小部分，JVM規范聲明用戶可以認為棧至少有64k大小。請注重JVM可以被認為是一個32位或者64位的機器，所以字節byte以及位數少的原始類型的運算不大可能比整數int的運算更快。
　　
　　2的補數
　　
　　Java語言中，所有的整數原始類型都是有符號數字，使用2的補數形式表示。要操作這些原始類型，我們需要理解一些相關理論。
　　
　　2的補數分成兩種：非負補數和負補數。補數的最高位，也是符號位，在一般系統上在最左邊。非負補數的此位是0?？梢院唵蔚膹淖蟮接易x取這些普通的非負補數，將他們轉換到任意進制的整數。假如符號位設置為1，此數就是負數，除去符號位的右邊位集合與符號位一起表示此負數。
　　
　　有兩種方法來考察負的補數。首先，可以從可能的最小負數數起直到-1，比如，8位字節，從最小的10000000(-128)開始，然后是10000001(-127),一直到11111111(-1)。另外一種考慮負的補數的方式有些古怪，當存在符號位時，用前面都是1后面跟著個0來代替前面都是0后面跟著個1的方式。然而，你最后需要從結果中減去1。比如11111111時符號位后面跟著7個1，(視為10000000)表示負零(-0),然后添加(也可以認為是減去)1，得到-1，同樣11111110(視為10000001，加上1是10000010)是-2，11111101(視為10000010，是-2，然后減去1)是-3，以此類推。
　　
　　感覺上有些怪，我們可以混合位運算符號和數學運算符號來進行多種操作。比如將x變換為-x，可以表示為對x按位求反，然后加1，即(~x)+1，具體運算過程見下表。
　　　 Java位運算優化：位域、位圖棋盤等(組圖)（圖二）

　　布爾標記和標準布爾位集
　　
　　如下的位標記模式(bit flag pattern)是很普通的技術常識，在圖形用戶界面GUI程序的公用API中得到了廣泛應用。呵呵，我們可能正在為資源有限設備如蜂窩電話或者PDA編寫一個Java GUI程序。對GUI中每個構件如按鈕(button)和下拉列表(drop-down list)都擁有一些Boolean選擇項標記。使用位標記，可以將許多選擇項安排到一個變量中。
　　
　　//The constants to use with our GUI widgets:　GUI構件使用的選擇項常量final int visible　　　= 1 << 0;　//　1 可見？final int enabled　　　= 1 << 1;　//　2 使能？final int focusable　　= 1 << 2;　//　4 focus？final int borderOn　　 = 1 << 3;　//　8 有邊界？final int moveable　　 = 1 << 4;　// 16 可移動？final int editable　　 = 1 << 5;　// 32 可編輯？final int borderStyleA = 1 << 6;　// 64 有樣式A邊界？final int borderStyleB = 1 << 7;　//128有樣式B邊界？final int borderStyleC = 1 << 8;　//256有樣式C邊界？final int borderStyleD = 1 << 9;　//512有樣式D邊界？//etc.myButton.setOptions( 1+2+4 ); //set a single widget.int myDefault= 1+2+4;　//A list of options.int myExtras = 32+128; //Another list.myButtonA.setOptions( myDefault );myButtonB.setOptions( myDefault myExtras );
　　
　　在程序中可以將許多Boolean選擇項的位標記組合成一個參數，在一次符值操作中全部傳遞，這基本上不需要什么時間。API可能會聲明，每個組件在某時僅能使用邊界樣式A、邊界樣式B、邊界樣式C、或者邊界樣式D中的一種，那么可以通過使用掩碼(mask)來獲取對應的4位，然后檢查這4位中至多有一個1。下面代碼中的小技巧稍后會解釋。
　　
　　int illegalOptionCombo=
　　//不合法的組合框選項　2+ 64+ 128+ 512;
　　// 10 11000010
　　int borderOptionMask=
　　//邊界選項掩碼
　　64+ 128+ 256+ 512;
　　// 11 11000000
　　int temp= illegalOptionCombo &
　　//獲取4個邊界選項的所有的1位
　　borderOptionMask
　　// 10 11000000
　　int rightmostBit=
　　//獲得temp的最右邊的1　temp & ( -temp );
　　// 00 01000000
　　
　　假如變量temp與rightMostBit不相等，那么表明temp必然含有多個1位。因為假如rightMostBit為0那么temp也應該是0，否則temp僅有一個1位。
　　
　　if (temp != rightmostBit)
　　throw new IllegalArgumentException();
　　
　　上面的示例是個玩具程序?，F實中，AWT和Swing使用了位標記模式，但是使用方式的不連貫。java.awt.geom.AffineTransform類中使用了很多，java.awt.Font 和java.awt.InputEvent也使用了。
　　
　　通用的位運算以及JDK 1.5的方法
　　
　　為了更好的應用位運算，需要把握所謂的標準技巧，也就是那些可以應用的位運算方法。J2SE 5.0 Tiger版本內增加了一些新的位運算API。假如你使用的是老版本，只要剪切粘貼那些方法實現到你的代碼中。最近由Henry S. Warren,Jr編寫的書籍Hacker's Delight內包含了很多關于位運算算法的資料。
　　
　　下表展示了一些運算，這些運算可以通過一行代碼或者通過一次調用API方法實現
　　　 Java位運算優化：位域、位圖棋盤等(組圖)（圖三）

　　欲了解上面API方法的運行時間，可以閱讀JDK中相應的　　
　　public static int highestOneBit(int i){　i = (i >> 1);
　　i = (i >> 2);　i = (i >> 4);　i = (i >> 8);　i = (i >> 16);　return i - (i >>> 1);}
　　
　　高級秘笈，同志們?。ㄆ灞P的位圖棋盤模式）
　　
　　下面部分，就像烈酒伏特加和變幻莫測的鏡子一樣，其中的位運算變得很復雜。
　　
　　在冷戰發展到頂點的時期，國際象棋是計算機科學的一個研究熱點。原蘇聯和美國各自獨立的提出了新的象棋數據結構——位圖棋盤。美國團隊——Slate和Atkin，基于Chess 4.x軟件出版了《人類和機器的國際象棋技能》一書，其中有一章討論了位圖棋盤算法，這可能是最早的關于位圖棋盤算法的印刷品。原蘇聯團隊，包括Donskoy以及其他人員，開發了使用位圖棋盤算法的程序Kaissa。這兩個軟件在世界范圍都具有勝利性的競爭力。
　　
　　在討論位圖棋盤算法前，我們先來看看使用Java語言(或其他許多語言)表示棋盤的標準方法。
　　
　　//棋盤上64個格子所有可能狀態的整數枚舉
　　final int EMPTY　= 0;final int WHITE_PAWN　 = 1;final int WHITE_KNIGHT = 2;final int WHITE_BISHOP = 3;final int WHITE_ROOK　 = 4;final int WHITE_QUEEN　= 5;final int WHITE_KING　 = 6;final int BLACK_PAWN　 = 7;final int BLACK_KNIGHT = 8;final int BLACK_BISHOP = 9;final int BLACK_ROOK　 = 10;final int BLACK_QUEEN　= 11;final int BLACK_KING　 = 12;
　　
　　//使用含有64個元素的整數數組表示64個格子
　　int[] board= new int[64];
　　
　　使用數組方法很直觀，相反，位圖棋盤算法的數據結構是使用12個64位的位集表示，每個表示一種類型的棋子(每方6種棋子，共12種)。如下圖，視覺上看上去似乎是一個堆在另一個的上面。
　　
　　//為棋盤聲明12個64位整數
　　long WP, WN, WB, WR, WQ, WK, BP, BN, BB, BR, BQ, BK;
　　　 Java位運算優化：位域、位圖棋盤等(組圖)（圖四）

　　圖1. 位圖棋盤數據結構
　　
　　空的位圖棋盤在那里？由于EMPTY位圖棋盤可以通過其他12計算出來，因此聲明它會產生冗余數據。為計算空位圖棋盤，將12個位圖棋盤相加后求反即可。
　　
　　long NOT_EMPTY=　WP WN WB WR WQ WK 　BP BN BB BR BQ BK　;
　　long EMPTY = ~NOT_EMPTY;
　　
　　象棋程序運行時需要生成很多合理的走棋步驟，從中挑選最佳的。這需要完成一些計算，以確定棋盤上被攻擊的棋格，避免棋子在這些棋格上被攻擊，這樣王棋子被將的棋格以及被將死的棋格能夠確定下來。每個棋子具有不同的攻擊方式?？疾焯幚磉@些不同攻擊方式的代碼，可以看到位圖棋盤算法的一些優缺點。使用位圖棋盤方案可以很優雅的解決一些程序任務，但在另外一些方面卻不是這樣。
　　
　　首先看王棋子，很簡單的，王只攻擊相鄰棋格內的棋子。根據王在棋盤上的棋格的不同位置，被攻擊的有3個到8個棋格。王可能位于棋盤中間格上、邊上、或者角上，所有情況都需要代碼處理。
　　
　　程序在運行時計算王的可能的64種攻擊方式，首先從基本的方式考慮，具有8種攻擊方式，然后推出非凡的情形下的攻擊方式。首先，在中間的棋格上生成掩碼，比如在第10個即B2(從A1開始，A2,A3,到A8，然后B1,B2,…B8,依次類推)。圖2 顯示了幾個表示掩碼的long數值。
　　　 Java位運算優化：位域、位圖棋盤等(組圖)（圖五）

　　圖2　確定王的攻擊方式
　　
　　long KING_ON_B2=1L
　　 1L << 1　 1L << 2　1L << 7　
　　1L << 9　1L << 15 1L << 16 1L << 17;//王在B2時，被攻擊的格子。
　?。∕atrix注：2，3行似乎不對，第2行應該是1L << 8　
　　1L << 10　，第3行也一樣）
　　
　　從圖上可以看出，我們可能想將被攻擊的棋格在棋盤上左右或者上下移動，不過向左和向右移動時要注重邊界的影響。
　　
　　SHIFTED_LEFT= KING_ON_B2 >>> 1;　//左移一格
　　
　　悠忽！我們將王從B2移動到了B1(見圖2).象棋中一個垂直列稱為縱線，將被攻擊的棋格左移一列時，從圖中可以看出最右邊的縱線H上的棋格并未被攻擊，相應的數字應該置0。代碼如下
　　
　　final long FILE_H=1L　　　　(1L<<8) (1L<<16) (1L<<24) (1L<<32) (1L<<40) (1L<<48) (1L<<56);
　　
　　//王左移到A2時，被攻擊的棋格
　　KING_ON_A2= (KING_ON_B2 >>> 1) & ~FILE_H;
　　
　　相應的，向右移的計算方式如下：
　　KING_ON_B3= (KING_ON_B2 >>> 1) & ~FILE_A;
　　
　　向上和向下移動的版本如下：
　　KING_ON_B1= MASK_KING_ON_B2 <<　8;KING_ON_B3= MASK_KING_ON_B2 >>> 8;
　　
　　實際上，我們可以避免使用硬編碼的方式來獲取王攻擊棋格的64種可能情況，同時，也希望避免使用數組，因此，此處我們就不構建王攻擊棋格的64個元素數組了。一種替代方案是使用64路的switch語句——代碼看起來不漂亮，不過可以很好的完成工作。
　　
　　下面來看看“兵”，與每方僅有一個王不同，棋盤上總共有8個兵?？梢詤⒄丈厦嬗嬎阌嬎阃醯墓羝甯竦姆椒ê茌p易的計算出所有8個兵的攻擊棋格。注重，兵只能攻擊對角線上相鄰的棋格。假如向上或者向下移動兵，相應數值要移動8位，假如是左右移動，相應數值要移動1位。因此在對角線上數值要移動7(8-1)位或者9(8+1)位
　　
　　PAWN_ATTACKS=((WP << 7) & ~RANK_A) & ((WP <<9) & ~RANK_H)
　　　 Java位運算優化：位域、位圖棋盤等(組圖)（圖六）

　　圖 3. 白方兵的攻擊棋格
　　
　　無論棋盤上有個兵，無論兵在棋盤那個的位置上，上面代碼都有效。Robert Hyatt，Crafty程序的作者，稱上面的算法為位并行運算(bit-parallel Operation)，它同時計算出了多個棋子的信息。位并行表達式功能強大，在你自己的程序中應該作為要害技術應用。進而，假如使用了很多位并行運算，那么這些運算可能是進行位運算優化的良好的候選。
　　
　　作為對比，考慮如何使用數組來表達兵的攻擊方式
　　
　　for (int i=0; i<56; i++){　if (board[i]= WHITE_PAWN)　{
　　if ((i+1) % 8 != 0) pawnAttacks[i+9]= true;
　　　 if ((i+1) % 8 != 1) pawnAttacks[i+7]= true;　}}
　　
　　上面代碼中，幾乎對整個棋盤進行循環，速度不快。可以重新編寫代碼，標記各個兵的位置，對每個兵的位置循環確定攻擊位置，而不需要對棋格進行循環。不過，這樣使用位集方法，程序中還是會有更多的字節需要運行。
　　
　　棋子馬的計算方式與王和兵相近。同上面處理王的情形相同，可以使用一個預先計算出來的表來確定馬的攻擊棋格。由于每方具有多于一個馬，因此計算馬的攻擊棋格的運算在技術上也是位并行運算。不過，現實中每方不大可能擁有多于兩個的馬，所以沒有什么實踐意義(選手可以選擇提升兵為馬，就擁有了多于兩個馬。實際上不大可能。譯注：此處請參考國際象棋規則)。
　　
　　棋子象、軍(車)、后都可以在棋盤上移動多步。雖然它們各自的可能攻擊棋格都是一樣的，但實際的攻擊取決于在各自的攻擊路線上的棋子。為確定合理的移動方式，必須單獨處理攻擊路線上的每個棋格。這是最壞的情況，也沒有可能的位并行算法可以使用，這樣不得不同數組方式一樣處理每個棋格。另外，使用位圖棋盤訪問一個個棋格同使用數組訪問棋格相比更笨拙(例如，易出錯)。
　　
　　使用位圖棋盤的優勢就是可以使用掩碼處理許多常見的象棋程序中的任務。拿棋子象來說，想確定有多少個對手的兵在象的可能多步攻擊范圍(圖4中，棋盤上的顏色)內。圖4 演示了這個攻擊掩碼問題。
　　　 Java位運算優化：位域、位圖棋盤等(組圖)（圖七）

　　圖4 . 有多少個兵在紅色方格上
　　
　　位圖棋盤模式的優勢和不足
　　
　　國際象棋規則相當復雜，這也意味著用位圖棋盤方法來處理這些規則時有優勢也有不足。使用位圖棋盤處理某些規則很快，處理另外一些時就比較慢。上面已經給出了使用位圖棋盤方法的低效代碼片斷，位圖棋盤算法并不是魔法粉，什么都可以高效實現?？梢韵胂笠环N與國際象棋非常相近的游戲(可能有不同的棋子), 應用位集運算會導致相反的效果或者根本不需要這樣復雜。使用位集運算進行優化必須經過審慎的考慮。
　　
　　一般來說，位運算具有如下的優勢和不足：
　　
　　優勢：
　　·　　　　占用內存少
　　·　　　　具有高效的拷貝、設值、比較運算等
　　·　　　　位并行運算的可能
　　
　　不足:
　　·　　　　難于調試
　　·　　　　訪問單獨位的復雜性，易出錯
　　·　　　　難于擴展
　　·　　　　不符合面向對象的風格
　　·　　　　不能處理所有的任務；需要大量的工作
　　
　　位圖棋盤模式的概括
　　
　　為概括上面的象棋例子，可以將棋盤的水平和縱向的位置想象為兩個獨立的變量或者屬性，這需要8x8一共64位來表示。另外，需要12層——每個棋子用一層表示。位圖棋盤方案的擴展方式有兩種：1)使用更多的位來擴展棋盤，添加更多的棋格 2)使用更多的層來增加棋子。實際對弈每方有64位的最大限制。但是假設我們擁有一個128位的JVM, 里面的具有128位的doublelong類型，有了這128位，棋盤上就有了足夠的空間來在同一層中擺放黑白雙方的16個兵(8*8*2=128)。如此可以減少需要的層數量，并且可能簡化一些難以理解的運算，但是卻會增加處理單獨一方兵的運算的復雜度并降低其速度。所有的Java位運算都會操作基本類型的所有位。數據在自己所在層內僅使用本身的各位進行位運算或者函數調用時，效率會高一些。使用位并行運算處理層內的所有位的速度比處理其中一些位的速度要快。對于增加的64位，我們可以獲得一些巧妙的使用方法，但是我們不希望將12個棋子也混合進來。
　　
　　假如在同一層內使用多于2個變量，也可以同時改變一層的所有變量?？紤]圖5中表示的3D tic-tac-toe(譯注：Google)游戲，3個軸向的每個軸向的上面可能有3變量，一共有3*3*3一共27個可能值。這樣對局的每方需要使用一個32位的位集合。
　　　 Java位運算優化：位域、位圖棋盤等(組圖)（圖八）

　　圖 5. 3D tic-tac-toe 游戲的位模型
　　
　　進一步，串聯多個64位集合可以用于實現Conway生命游戲(Conway’s Game of Life, 見圖6)，一個在大的柵格上進行的模擬游戲。游戲中新單元的生死由相鄰單元的數量確定，游戲在一代代的單元繁衍中進行。當一個死去單元的四周具有3個生存單元時會復活。一個單元的相鄰單元中沒有生存的或者僅有一個生存的，這個單元就死亡了(由于寂寞)。具有多于三個相鄰生存單元的單元也會死亡(由于人口擁擠)。相鄰單元的出生(復活)、生活，死亡，會對當前單元的狀態造成很多改變。圖6中顯示了一個生命構造圖，它會不斷繁衍，生存下去，從而通過柵格。使用下面描述的算法我們可以生成模擬生存過程的下一步：
　　
　　1.　　　　首先，與象棋游戲相似，除主柵格外另外聲明8個柵格層，每層表示某單元格的八個相鄰單元格中的一個。通過移位運算計算相鄰單元格的生存數量(某些移位數據必須從相鄰的位中獲得)。
　　2.　　　　已經有了八個層次，需要計算每個單元格的運算和，聲明9個額外的位集合來表示這些結果。比如，位集合變量SUM_IS_0到SUM_IS_8。這里可以使用遞歸算法，先計算2層的，然后計算3層、4層......直道第8層。
　　3.　　　　獲得相鄰單元格生存數量后，可以輕易的應用游戲規則產生單元格的下一代。
　　
　　統計各層表示的相鄰單元格生存數量
　　
　　//S0表示“和為0”，其余類似//L1 表示“第一層”，其余類似//Look at just the first two layers: 層1和層2S0= ~(L1 L2);S1= L1 ^ L2;S2= L1 & L2;//Now look at the third layer:第3層S3 =　L3 & S2;S2 = (S2 & ~L3) (S1 & L3);S1 = (S1 & ~L3) (S0 & L3);S0 = S0 & ~L3;//The fourth layer.第4層S4 = S3 & L4;S3 = (S3 & ~L4) (S2 & L4);S2 = (S2 & ~L4) (S1 & L4);S1 = (S1 & ~L4) (S0 & L4);S0 = S0 & ~L4;//Repeat this pattern up to the 8th layer.重復此模式直到第8層
　　
　　計算8層的全部代碼有42行，假如需要也可以增加些。不過這42行代碼有些優點，其中沒有使用邏輯判定——邏輯判定會降低處理器的速度，代碼明了簡單，可以通過即時(JIT)或者熱部署(Hotspot)Java編譯器的編譯。最重要的是，對于全部64個單元格所需要的數值，是通過并行計算獲得的。
　　　 Java位運算優化：位域、位圖棋盤等(組圖)（圖九）

　　圖 6. 生命游戲的模型
　　
　　與非游戲應用相比，位運算在游戲等應用中更輕易得到應用。其原因是游戲應用如象棋的數據模型中位與位之間具有豐富的關系。象棋的數據模型具有12層64位的位集，合計共764位。768位中的每位基本上都同其余各位有一定形式的關聯。在商業應用中，信息通常不具有這樣緊密的關系。
　　
　　結論
　　
　　思想開放的程序員，可能在任何問題領域中應用位運算。然而，在特定情形下應用位運算合適與否取決于開發者的判定。老實說，可能根本就不需要使用這些技巧。不過，上面提到的方法在特定Java應用可能正是優化程序所需要的。假如不是這樣，也可以使用這些方法以非常hacking的方式解決一些問題，同時迷惑你的朋友們！
　　
　　享受位運算的快樂吧！

上一篇：用Java實現自動在數據庫表中生成ID號

下一篇：隨機數　獲取背景音樂