二叉樹(binary)是一種特殊的樹。二叉樹的每個節點最多只能有2個子節點：
二叉樹
由于二叉樹的子節點數目確定，所以可以直接采用上圖方式在內存中實現。每個節點有一個左子節點(left children)和右子節點(right children)。左子節點是左子樹的根節點，右子節點是右子樹的根節點。
如果我們給二叉樹加一個額外的條件，就可以得到一種被稱作二叉搜索樹(binary search tree)的特殊二叉樹。二叉搜索樹要求：每個節點都不比它左子樹的任意元素小，而且不比它的右子樹的任意元素大。
(如果我們假設樹中沒有重復的元素，那么上述要求可以寫成：每個節點比它左子樹的任意節點大，而且比它右子樹的任意節點小)
二叉搜索樹，注意樹中元素的大小
二叉搜索樹可以方便的實現搜索算法。在搜索元素x的時候，我們可以將x和根節點比較:
1. 如果x等于根節點，那么找到x，停止搜索 (終止條件)
2. 如果x小于根節點，那么搜索左子樹
3. 如果x大于根節點，那么搜索右子樹
二叉搜索樹所需要進行的操作次數最多與樹的深度相等。n個節點的二叉搜索樹的深度最多為n，最少為log(n)。
下面是用java實現的二叉搜索樹，并有搜索，插入，刪除，尋找最大最小節點的操作。
刪除節點相對比較復雜。刪除節點后，有時需要進行一定的調整，以恢復二叉搜索樹的性質(每個節點都不比它左子樹的任意元素小，而且不比它的右子樹的任意元素大)。
刪除節點
刪除節點后的二叉搜索樹
import java.util.ArrayList;import java.util.List;public class BinarySearchTree {// 樹的根結點PRivate TreeNode root = null;// 遍歷結點列表private List<TreeNode> nodelist = new ArrayList<TreeNode>();private class TreeNode {private int key;private TreeNode leftChild;private TreeNode rightChild;private TreeNode parent;public TreeNode(int key, TreeNode leftChild, TreeNode rightChild,TreeNode parent) {this.key = key;this.leftChild = leftChild;this.rightChild = rightChild;this.parent = parent;}public int getKey() {return key;}public String toString() {String leftkey = (leftChild == null ? "" : String.valueOf(leftChild.key));String rightkey = (rightChild == null ? "" : String.valueOf(rightChild.key));return "(" + leftkey + " , " + key + " , " + rightkey + ")";}}/** * isEmpty: 判斷二叉查找樹是否為空；若為空，返回 true ，否則返回 false . * */public boolean isEmpty() {if (root == null) {return true;} else {return false;}}/** * TreeEmpty: 對于某些二叉查找樹操作(比如刪除關鍵字)來說，若樹為空，則拋出異常。 */public void TreeEmpty() throws Exception {if (isEmpty()) {throw new Exception("樹為空!");}}/** * search: 在二叉查找樹中查詢給定關鍵字 * * @param key * 給定關鍵字 * @return 匹配給定關鍵字的樹結點 */public TreeNode search(int key) {TreeNode pNode = root;while (pNode != null && pNode.key != key) {if (key < pNode.key) {pNode = pNode.leftChild;} else {pNode = pNode.rightChild;}}return pNode;}/** * minElemNode: 獲取二叉查找樹中的最小關鍵字結點 * * @return 二叉查找樹的最小關鍵字結點 * @throws Exception * 若樹為空，則拋出異常 */public TreeNode minElemNode(TreeNode node) throws Exception {if (node == null) {throw new Exception("樹為空！");}TreeNode pNode = node;while (pNode.leftChild != null) {pNode = pNode.leftChild;}return pNode;}/** * maxElemNode: 獲取二叉查找樹中的最大關鍵字結點 * * @return 二叉查找樹的最大關鍵字結點 * @throws Exception * 若樹為空，則拋出異常 */public TreeNode maxElemNode(TreeNode node) throws Exception {if (node == null) {throw new Exception("樹為空！");}TreeNode pNode = node;while (pNode.rightChild != null) {pNode = pNode.rightChild;}return pNode;}/** * successor: 獲取給定結點在中序遍歷順序下的后繼結點 * * @param node * 給定樹中的結點 * @return 若該結點存在中序遍歷順序下的后繼結點，則返回其后繼結點；否則返回 null * @throws Exception */public TreeNode successor(TreeNode node) throws Exception {if (node == null) {return null;}// 若該結點的右子樹不為空，則其后繼結點就是右子樹中的最小關鍵字結點if (node.rightChild != null) {return minElemNode(node.rightChild);}// 若該結點右子樹為空TreeNode parentNode = node.parent;while (parentNode != null && node == parentNode.rightChild) {node = parentNode;parentNode = parentNode.parent;}return parentNode;}/** * precessor: 獲取給定結點在中序遍歷順序下的前趨結點 * * @param node * 給定樹中的結點 * @return 若該結點存在中序遍歷順序下的前趨結點，則返回其前趨結點；否則返回 null * @throws Exception */public TreeNode precessor(TreeNode node) throws Exception {if (node == null) {return null;}// 若該結點的左子樹不為空，則其前趨結點就是左子樹中的最大關鍵字結點if (node.leftChild != null) {return maxElemNode(node.leftChild);}// 若該結點左子樹為空TreeNode parentNode = node.parent;while (parentNode != null && node == parentNode.leftChild) {node = parentNode;parentNode = parentNode.parent;}return parentNode;}/** * insert: 將給定關鍵字插入到二叉查找樹中 * * @param key * 給定關鍵字 */public void insert(int key) {TreeNode parentNode = null;TreeNode newNode = new TreeNode(key, null, null, null);TreeNode pNode = root;if (root == null) {root = newNode;return;}while (pNode != null) {parentNode = pNode;if (key < pNode.key) {pNode = pNode.leftChild;} else if (key > pNode.key) {pNode = pNode.rightChild;} else {// 樹中已存在匹配給定關鍵字的結點，則什么都不做直接返回return;}}if (key < parentNode.key) {parentNode.leftChild = newNode;newNode.parent = parentNode;} else {parentNode.rightChild = newNode;newNode.parent = parentNode;}}/** * insert: 從二叉查找樹中刪除匹配給定關鍵字相應的樹結點 * * @param key * 給定關鍵字 */public void delete(int key) throws Exception {TreeNode pNode = search(key);if (pNode == null) {throw new Exception("樹中不存在要刪除的關鍵字!");}delete(pNode);}/** * delete: 從二叉查找樹中刪除給定的結點. * * @param pNode * 要刪除的結點 * * 前置條件： 給定結點在二叉查找樹中已經存在 * @throws Exception */private void delete(TreeNode pNode) throws Exception {if (pNode == null) {return;}if (pNode.leftChild == null && pNode.rightChild == null) { // 該結點既無左孩子結點，也無右孩子結點TreeNode parentNode = pNode.parent;if (pNode == parentNode.leftChild) {parentNode.leftChild = null;} else {parentNode.rightChild = null;}return;}if (pNode.leftChild == null && pNode.rightChild != null) { // 該結點左孩子結點為空，右孩子結點非空TreeNode parentNode = pNode.parent;if (pNode == parentNode.leftChild) {parentNode.leftChild = pNode.rightChild;pNode.rightChild.parent = parentNode;} else {parentNode.rightChild = pNode.rightChild;pNode.rightChild.parent = parentNode;}return;}if (pNode.leftChild != null && pNode.rightChild == null) { // 該結點左孩子結點非空，右孩子結點為空TreeNode parentNode = pNode.parent;if (pNode == parentNode.leftChild) {parentNode.leftChild = pNode.leftChild;pNode.rightChild.parent = parentNode;} else {parentNode.rightChild = pNode.leftChild;pNode.rightChild.parent = parentNode;}return;}// 該結點左右孩子結點均非空，則刪除該結點的后繼結點，并用該后繼結點取代該結點TreeNode successorNode = successor(pNode);delete(successorNode);pNode.key = successorNode.key;}/** * inOrderTraverseList: 獲得二叉查找樹的中序遍歷結點列表 * * @return 二叉查找樹的中序遍歷結點列表 */public List<TreeNode> inOrderTraverseList() {if (nodelist != null) {nodelist.clear();}inOrderTraverse(root);return nodelist;}/** * inOrderTraverse: 對給定二叉查找樹進行中序遍歷 * * @param root * 給定二叉查找樹的根結點 */private void inOrderTraverse(TreeNode root) {if (root != null) {inOrderTraverse(root.leftChild);nodelist.add(root);inOrderTraverse(root.rightChild);}}/** * toStringOfOrderList: 獲取二叉查找樹中關鍵字的有序列表 * * @return 二叉查找樹中關鍵字的有序列表 */public String toStringOfOrderList() {StringBuilder sbBuilder = new StringBuilder(" [ ");for (TreeNode p : inOrderTraverseList()) {sbBuilder.append(p.key);sbBuilder.append(" ");}sbBuilder.append("]");return sbBuilder.toString();}/** * 獲取該二叉查找樹的字符串表示 */public String toString() {StringBuilder sbBuilder = new StringBuilder(" [ ");for (TreeNode p : inOrderTraverseList()) {sbBuilder.append(p);sbBuilder.append(" ");}sbBuilder.append("]");return sbBuilder.toString();}public TreeNode getRoot() {return root;}public static void testNode(BinarySearchTree bst, TreeNode pNode)throws Exception {System.out.println("本結點: " + pNode);System.out.println("前趨結點: " + bst.precessor(pNode));System.out.println("后繼結點: " + bst.successor(pNode));}public static void testTraverse(BinarySearchTree bst) {System.out.println("二叉樹遍歷：" + bst);System.out.println("二叉查找樹轉換為有序列表: " + bst.toStringOfOrderList());}public static void main(String[] args) {try {BinarySearchTree bst = new BinarySearchTree();System.out.println("查找樹是否為空？ " + (bst.isEmpty() ? "是" : "否"));int[] keys = new int[] { 15, 6, 18, 3, 7, 13, 20, 2, 9, 4 };for (int key : keys) {bst.insert(key);}System.out.println("查找樹是否為空？ " + (bst.isEmpty() ? "是" : "否"));TreeNode minkeyNode = bst.minElemNode(bst.getRoot());System.out.println("最小關鍵字： " + minkeyNode.getKey());testNode(bst, minkeyNode);TreeNode maxKeyNode = bst.maxElemNode(bst.getRoot());System.out.println("最大關鍵字： " + maxKeyNode.getKey());testNode(bst, maxKeyNode);System.out.println("根結點關鍵字： " + bst.getRoot().getKey());testNode(bst, bst.getRoot());testTraverse(bst);System.out.println("****************************** ");testTraverse(bst);} catch (Exception e) {System.out.println(e.getMessage());e.printStackTrace();}}}
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