背包問題主要是指一個給定容量的背包、若干具有一定價值和重量的物品，如何選擇物品放入背包使物品的價值最大。其中又分01背包和無限背包，這里主要討論01背包，即每個物品最多放一個。而無限背包可以轉化為01背包。
先說一下算法的主要思想，利用動態規劃來解決。每次遍歷到的第i個物品，根據w[i]和v[i]來確定是否需要將該物品放入背包中。即對于給定的n個物品，設v[i]、w[i]分別為第i個物品的價值和重量，C為背包的容量。再令v[i][j]表示在前i個物品中能夠裝入容量為j的背包中的最大價值。則我們有下面的結果：
（1），v[i][0]=v[0][j]=0;
（2），v[i][j]=v[i-1][j] 當w[i]>j
（3），v[i][j]=max{v[i-1][j],v[i-1][j-w[i]]+v[i]} 當j>=w[i]
好的，我們的算法就是基于此三個結論式。
一、01背包：
1、二維數組法
java;">public class sf { public static void main(String[] args) { // TODO Auto-generated method stub int[] weight = {3,5,2,6,4}; //物品重量 int[] val = {4,4,3,5,3}; //物品價值 int m = 12; //背包容量 int n = val.length; //物品個數 int[][] f = new int[n+1][m+1]; //f[i][j]表示前i個物品能裝入容量為j的背包中的最大價值 int[][] path = new int[n+1][m+1]; //初始化第一列和第一行 for(int i=0;i<f.length;i++){ f[i][0] = 0; } for(int i=0;i<f[0].length;i++){ f[0][i] = 0; } //通過公式迭代計算 for(int i=1;i<f.length;i++){ for(int j=1;j<f[0].length;j++){ if(weight[i-1]>j) f[i][j] = f[i-1][j]; else{ if(f[i-1][j]<f[i-1][j-weight[i-1]]+val[i-1]){ f[i][j] = f[i-1][j-weight[i-1]]+val[i-1]; path[i][j] = 1; }else{ f[i][j] = f[i-1][j]; } //f[i][j] = Math.max(f[i-1][j], f[i-1][j-weight[i-1]]+val[i-1]); } } } for(int i=0;i<f.length;i++){ for(int j=0;j<f[0].length;j++){ System.out.print(f[i][j]+" "); } System.out.println(); } int i=f.length-1; int j=f[0].length-1; while(i>0&&j>0){ if(path[i][j] == 1){ System.out.print("第"+i+"個物品裝入 "); j -= weight[i-1]; } i--; } } } 輸出：
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 0 0 0 4 4 4 4 4 8 8 8 8 8 0 0 3 4 4 7 7 7 8 8 11 11 11 0 0 3 4 4 7 7 7 8 9 11 12 12 0 0 3 4 4 7 7 7 8 10 11 12 12 第4個物品裝入 第3個物品裝入 第1個物品裝入
以上方法的時間和空間復雜度均為O(N*V)，其中時間復雜度基本已經不能再優化了，但空間復雜度卻可以優化到O(V)。
先考慮上面講的基本思路如何實現，肯定是有一個主循環i=1..N，每次算出來二維數組f[i][0..V]的所有值。那么，如果只用一個數組f[0..V]，能不能保證第i次循環結束后f[v]中表示的就是我們定義的狀態f[i][v]呢？f[i][v]是由f[i-1][v]和f[i-1][v-c[i]]兩個子問題遞推而來，能否保證在推f[i][v]時（也即在第i次主循環中推f[v]時）能夠得到f[i-1][v]和f[i-1][v-c[i]]的值呢？事實上，這要求在每次主循環中我們以v=V..0的順序推f[v]，這樣才能保證推f[v]時f[v-c[i]]保存的是狀態f[i-1][v-c[i]]的值。
偽代碼如下：
for i=1..N for v=V..0 f[v]=max{f[v],f[v-c[i]]+w[i]};其中的f[v]=max{f[v],f[v-c[i]]}一句恰就相當于我們的轉移方程f[i][v]=max{f[i-1][v],f[i-1][v-c[i]]}，因為現在的f[v-c[i]]就相當于原來的f[i-1][v-c[i]]。如果將v的循環順序從上面的逆序改成順序的話，那么則成了f[i][v]由f[i][v-c[i]]推知，與本題意不符，但它卻是另一個重要的背包問題P02最簡捷的解決方案，故學習只用一維數組解01背包問題是十分必要的。
我們看到的求最優解的背包問題題目中，事實上有兩種不太相同的問法。有的題目要求“恰好裝滿背包”時的最優解，有的題目則并沒有要求必須把背包裝滿。一種區別這兩種問法的實現方法是在初始化的時候有所不同。
如果是第一種問法，要求恰好裝滿背包，那么在初始化時除了f[0]為0其它f[1..V]均設為-∞，這樣就可以保證最終得到的f[N]是一種恰好裝滿背包的最優解。
如果并沒有要求必須把背包裝滿，而是只希望價格盡量大，初始化時應該將f[0..V]全部設為0。
為什么呢？可以這樣理解：初始化的f數組事實上就是在沒有任何物品可以放入背包時的合法狀態。如果要求背包恰好裝滿，那么此時只有容量為0的背包可能被價值為0的nothing“恰好裝滿”，其它容量的背包均沒有合法的解，屬于未定義的狀態，它們的值就都應該是-∞了。如果背包并非必須被裝滿，那么任何容量的背包都有一個合法解“什么都不裝”，這個解的價值為0，所以初始時狀態的值也就全部為0了。
2、一維數組法（無須裝滿）
public class sf { public static void main(String[] args) { // TODO Auto-generated method stub int[] weight = {3,5,2,6,4}; //物品重量 int[] val = {4,4,3,5,3}; //物品價值 int m = 12; //背包容量 int n = val.length; //物品個數 int[] f = new int[m+1]; for(int i=0;i<f.length;i++){ //不必裝滿則初始化為0 f[i] = 0; } for(int i=0;i<n;i++){ for(int j=f.length-1;j>=weight[i];j--){ f[j] = Math.max(f[j], f[j-weight[i]]+val[i]); } } for(int i=0;i<f.length;i++){ System.out.print(f[i]+" "); } System.out.println(); System.out.println("最大價值為"+f[f.length-1]); } } 輸出
0 0 3 4 4 7 7 7 8 10 11 12 12 最大價值為12
3、一維數組法（必須裝滿）
public class sf { public static void main(String[] args) { // TODO Auto-generated method stub int[] weight = {3,5,2,6,4}; //物品重量 int[] val = {4,4,3,5,3}; //物品價值 int m = 12; //背包容量 int n = val.length; //物品個數 int[] f = new int[m+1]; for(int i=1;i<f.length;i++){ //必裝滿則f[0]=0,f[1...m]都初始化為無窮小 f[i] = Integer.MIN_VALUE; } for(int i=0;i<n;i++){ for(int j=f.length-1;j>=weight[i];j--){ f[j] = Math.max(f[j], f[j-weight[i]]+val[i]); } } for(int i=0;i<f.length;i++){ System.out.print(f[i]+" "); } System.out.println(); System.out.println("最大價值為"+f[f.length-1]); } } 輸出
0 -2147483648 3 4 3 7 6 7 8 10 11 12 11 最大價值為11
二、完全背包
有N種物品和一個容量為V的背包，每種物品都有無限件可用。第i種物品的費用是c[i]，價值是w[i]。求解將哪些物品裝入背包可使這些物品的費用總和不超過背包容量，且價值總和最大。
但我們有更優的O(VN)的算法。
O(VN)的算法
這個算法使用一維數組，先看偽代碼：
for i=1..N for v=0..V f[v]=max{f[v],f[v-cost]+weight}你會發現，這個偽代碼與P01的偽代碼只有v的循環次序不同而已。
public class test{ public static void main(String[] args){ int[] weight = {3,4,6,2,5}; int[] val = {6,8,7,5,9}; int maxw = 10; int[] f = new int[maxw+1]; for(int i=0;i<f.length;i++){ f[i] = 0; } for(int i=0;i<val.length;i++){ for(int j=weight[i];j<f.length;j++){ f[j] = Math.max(f[j], f[j-weight[i]]+val[i]); } } System.out.println(f[maxw]); } } 輸出
25
總結
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