本文從一個有趣而又令人意外的實驗展開，介紹一些關于浮點數你應該知道的基礎知識

http://cenalulu.github.io/

http://cenalulu.github.io/linux/about-denormalized-float-number/

文章歡迎轉載，但轉載時請保留本段文字，并置于文章的頂部作者：盧鈞軼(cenalulu)本文原文地址：

本文從一個有趣而詭異的實驗開始。最早這個例子博主是從 Stackoverflow上的一個問題中看到的。為了提高可讀性，博主這里做了改寫，簡化成了以下兩段代碼：

#include <iostream>#include <string>using namespace std;int main() {    const float x=1.1;    const float z=1.123;    float y=x;    for(int j=0;j<90000000;j++)    {        y*=x;        y/=z;        y+=0.1f;        y-=0.1f;    }    return 0;}

#include <iostream>#include <string>using namespace std;int main() {    const float x=1.1;    const float z=1.123;    float y=x;    for(int j=0;j<90000000;j++)    {        y*=x;        y/=z;        y+=0;        y-=0;    }    return 0;}

上面兩段代碼的唯一差別就是第一段代碼中y+=0.1f，而第二段代碼中是y+=0。由于y會先加后減同樣一個數值，照理說這兩段代碼的作用和效率應該是完全一樣的,當然也是沒有任何邏輯意義的。假設現在我告訴你：其中一段代碼的效率要比另一段慢7倍。想必讀者會認為一定是y+=0.1f的那段慢，畢竟它和y+=0相比看上去要多一些運算。但是，實驗結果，卻出乎意料， y+=0的那段代碼比y+=0.1f足足慢了7倍。{: style="color: red" } 。世界觀被顛覆了有木有？博主是在自己的Macbook PRo上進行的測試，有興趣的讀者也可以在自己的筆記本上試試。（只要是支持SSE2指令集的CPU都會有相似的結果）。

shell> g++ code1.c -o test1shell> g++ code2.c -o test2shell> time ./test1real    0m1.490suser    0m1.483ssys     0m0.003sshell>?time ./test2real    0m9.895suser    0m9.871ssys     0m0.009s

當然 原文中的投票最高的回答解釋的非常好，但博主第一次看的時候是一頭霧水，因為大部分基礎知識已經還給大學老師了。所以，本著知其然還要知其所以然的態度，博主做了一個詳盡的分析和思路整理過程。也希望讀者能夠從0開始解釋這個詭異現象的原因。

現在讓我們復習大學計算機基礎課程。如果你熟練掌握了浮點數向二進制表達式轉換的方法，那么你可以跳過這節。我們先來看下浮點數二進制表達的三個組成部分。

三個主要成分是：

• Sign（1bit）：表示浮點數是正數還是負數。0表示正數，1表示負數
• Exponent（8bits）：指數部分。類似于科學技術法中的M*10^N中的N，只不過這里是以2為底數而不是10。需要注意的是，這部分中是以2^7-1即127，也即01111111代表2^0，轉換時需要根據127作偏移調整。
• Mantissa（23bits）：基數部分。浮點數具體數值的實際表示。

下面我們來看個實際例子來解釋下轉換過程。Step 1 改寫整數部分以數值5.2為例。先不考慮指數部分，我們先單純的將十進制數改寫成二進制。整數部分很簡單，5.即101.。

Step 2 改寫小數部分小數部分我們相當于拆成是2^-1一直到2^-N的和。例如：0.2 = 0.125+0.0625+0.007825+0.00390625即2^-3+2^-4+2^-7+2^-8....，也即.00110011001100110011

Step 3 規格化現在我們已經有了這么一串二進制101.00110011001100110011。然后我們要將它規格化，也叫Normalize。其實原理很簡單就是保證小數點前只有一個bit。于是我們就得到了以下表示：1.0100110011001100110011 * 2^2。到此為止我們已經把改寫工作完成，接下來就是要把bit填充到三個組成部分中去了。

Step 4 填充指數部分（Exponent）：之前說過需要以127作為偏移量調整。因此2的2次方，指數部分偏移成2+127即129，表示成10000001填入。整數部分（Mantissa）：除了簡單的填入外，需要特別解釋的地方是1.010011中的整數部分1在填充時被舍去了。因為規格化后的數值整部部分總是為1。那大家可能有疑問了，省略整數部分后豈不是1.010011和0.010011就混淆了么？其實并不會，如果你仔細看下后者：會發現他并不是一個規格化的二進制，可以改寫成1.0011 * 2^-2。所以省略小數點前的一個bit不會造成任何兩個浮點數的混淆。具體填充后的結果見下圖

練習：如果想考驗自己是否充分理解這節內容的話，可以隨便寫一個浮點數嘗試轉換。通過 浮點二進制轉換工具可以驗證答案。

了解完浮點數的表達以后，不難看出浮點數的精度和指數范圍有很大關系。最低不能低過2^-7-1最高不能高過2^8-1（其中剔除了指數部分全0喝全1的特殊情況）。那么當我們要表示一個例如：1.00001111*2^-7這樣的超小數值的時候就無法用規格化數值表示，只能用0來代替。那么，這樣做有什么問題呢？最容易理解的一種副作用就是：當多次做低精度浮點數舍棄的時候，就會出現除數為0的exception，導致異常。

于是乎就出現了Denormalized Number（后稱非規格化浮點）。他和規格浮點的區別在于，規格浮點約定小數點前一位默認是1。而非規格浮點約定小數點前一位可以為0，這樣小數精度就相當于多了最多2^22范圍。

但是，精度的提升是有代價的。由于CPU硬件只支持，或者默認對一個32bit的二進制使用規格化解碼。因此需要支持32bit非規格數值的轉碼和計算的話，需要額外的編碼標識，也就是需要額外的硬件或者軟件層面的支持。以下是wiki上的兩端摘抄，說明了非規格化計算的效率非常低。> 一般來說，由軟件對非規格化浮點數進行處理將帶來極大的性能損失，而由硬件處理的情況會稍好一些，但在多數現代處理器上這樣的操作仍是緩慢的。極端情況下，規格化浮點數操作可能比硬件支持的非規格化浮點數操作快100倍。

For example when using NVIDIA's CUDA platform, on gaming cards, calculations with double precision take 3 to 24 times longer to complete than calculations using single precision.

如果要解釋為什么有如此大的性能損耗，那就要需要涉及電路設計了，超出了博主的知識范圍。當然萬能的wiki也是有答案的，有興趣的讀者可以自行查閱。

總上面的分析中我們得出了以下結論：

• 浮點數表示范圍有限，精度受限于指數和底數部分的長度，超過精度的小數部分將會被舍棄（underflow）
• 為了表示更高精度的浮點數，出現了非規格化浮點數，但是他的計算成本非常高。

于是我們就可以發現通過幾十上百次的循環后，y中存放的數值無限接近于零。CPU將他表示為精度更高的非規格化浮點。而當y+0.1f時為了保留跟重要的底數部分，之后無限接近0（也即y之前存的數值）被舍棄，當y-0.1f后，y又退化為了規格化浮點數。并且之后的每次y*x和y/z時，CPU都執行的是規劃化浮點運算。而當y+0，由于加上0值后的y仍然可以被表示為非規格化浮點，因此整個循環的四次運算中CPU都會使用非規格浮點計算，效率就大大降低了。

當然，也有在程序內部也是有辦法控制非規范化浮點的使用的。在相關程序的上下文中加上fesetenv(FE_DFL_DISABLE_SSE_DENORMS_ENV);就可以迫使CPU放棄使用非規范化浮點計算，提高性能。我們用這種辦法修改上面實驗中的代碼后，y+=0的效率就和y+=0.1f就一樣了。甚至還比y+=0.1f更快了些，世界觀又端正了不是么:) 修改后的代碼如下

#include <iostream>#include <string>#include <fenv.h>using namespace std;int main() {    fesetenv(FE_DFL_DISABLE_SSE_DENORMS_ENV);    const float x=1.1;    const float z=1.123;    float y=x;    for(int j=0;j<90000000;j++)    {        y*=x;        y/=z;        y+=0;        y-=0;    }    return 0;}

什么是非規格化浮點數Why does changing 0.1f to 0 slow down performance by 10x?IEEE floating pointFloating pointDenormal number