在數學中，兩個集合X和Y的笛卡兒積（Cartesian product），又稱直積，表示為 X × Y。設A、B是任意兩個集合，在集合A中任意取一個元素x，在集合B中任意取一個元素y，組成一個有序對（x，y），把這樣的有序對作為新的元素，他們的全體組成的集合稱為集合A和集合B的直積，記為A×B，即 A×B={（x，y）|x∈A且y∈B}。

假設集合 A={a, b}，集合 B={0, 1, 2}，則兩個集合的笛卡爾積為 {(a, 0), (a, 1), (a, 2), (b, 0), (b, 1), (b, 2)}。

舉例

給出三個域：

D1 = { 張清玫，劉逸 }D2 = {計算機專業，信息專業}D3 = {李勇，劉晨，王敏}

則 D1，D2，D3 的笛卡爾積 D = D1×D2×D3，等于：

{    (張清玫, 計算機專業, 李勇),    (張清玫, 計算機專業, 劉晨),    (張清玫, 計算機專業, 王敏),    (張清玫, 信息專業, 李勇),    (張清玫, 信息專業, 劉晨),    (張清玫, 信息專業, 王敏),    (劉逸, 計算機專業, 李勇),    (劉逸, 計算機專業, 劉晨),    (劉逸, 計算機專業, 王敏),    (劉逸, 信息專業, 李勇),    (劉逸, 信息專業, 劉晨),    (劉逸, 信息專業, 王敏)}

這樣就把D1、D2、D3這三個集合中的每個元素加以對應組合，形成龐大的集合群。本個例子中的D中就會有 2X2X3=12 個元素，如果一個集合有1000個元素，有這樣3個集合，他們的笛卡爾積所組成的新集合會達到十億個元素。假若某個集合是無限集，那么新的集合就將是有無限個元素。

PHP代碼 - 輸出數組形式

function Descartes(){    $t = func_get_args();                                    // 獲取傳入的參數    if (func_num_args() == 1) {                               // 判斷參數個數是否為1        return call_user_func_array(__FUNCTION__, $t[0]);  // 回調當前函數，并把第一個數組作為參數傳入    }    $a = array_shift($t);        // 將 $t 中的第一個元素移動到 $a 中，$t 中索引值重新排序    if ( !is_array($a)) {        $a = [$a];    }    $a = array_chunk($a, 1);     // 分割數組 $a ，為每個單元1個元素的新數組    do {        $r = [];        $b = array_shift($t);        if ( !is_array($b)) {            $b = [$b];        }        foreach ($a as $p) {            foreach (array_chunk($b, 1) as $q) {                $r[] = array_merge($p, $q);            }        }        $a = $r;    } while ($t);    return $r;}

使用：

$arr = [    [        '張清玫',        '劉逸'    ],    [        '計算機專業',        '信息管理與信息系統專業',        '電子商務專業'    ],    [        '2018級',        '2017級'    ]];$r = Descartes($arr);

效果：

array(12) {  [0]=>  array(3) {    [0]=>    string(9) "張清玫"    [1]=>    string(15) "計算機專業"    [2]=>    string(7) "2018級"  }  [1]=>  array(3) {    [0]=>    string(9) "張清玫"    [1]=>    string(15) "計算機專業"    [2]=>    string(7) "2017級"  }  [2]=>  array(3) {    [0]=>    string(9) "張清玫"    [1]=>    string(33) "信息管理與信息系統專業"    [2]=>    string(7) "2018級"  }  [3]=>  array(3) {    [0]=>    string(9) "張清玫"    [1]=>    string(33) "信息管理與信息系統專業"    [2]=>    string(7) "2017級"  }  [4]=>  array(3) {    [0]=>    string(9) "張清玫"    [1]=>    string(18) "電子商務專業"    [2]=>    string(7) "2018級"  }  [5]=>  array(3) {    [0]=>    string(9) "張清玫"    [1]=>    string(18) "電子商務專業"    [2]=>    string(7) "2017級"  }  [6]=>  array(3) {    [0]=>    string(6) "劉逸"    [1]=>    string(15) "計算機專業"    [2]=>    string(7) "2018級"  }  [7]=>  array(3) {    [0]=>    string(6) "劉逸"    [1]=>    string(15) "計算機專業"    [2]=>    string(7) "2017級"  }  [8]=>  array(3) {    [0]=>    string(6) "劉逸"    [1]=>    string(33) "信息管理與信息系統專業"    [2]=>    string(7) "2018級"  }  [9]=>  array(3) {    [0]=>    string(6) "劉逸"    [1]=>    string(33) "信息管理與信息系統專業"    [2]=>    string(7) "2017級"  }  [10]=>  array(3) {    [0]=>    string(6) "劉逸"    [1]=>    string(18) "電子商務專業"    [2]=>    string(7) "2018級"  }  [11]=>  array(3) {    [0]=>    string(6) "劉逸"    [1]=>    string(18) "電子商務專業"    [2]=>    string(7) "2017級"  }}

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