篩選法的C++實現

2020-01-26 15:43:22

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篩選法

介紹：
篩選法又稱篩法，是求不超過自然數N（N>1）的所有質數的一種方法。據說是古希臘的埃拉托斯特尼（Eratosthenes，約公元前274～194年）發明的，又稱埃拉托斯特尼篩子。

具體做法是：先把N個自然數按次序排列起來。1不是質數，也不是合數，要劃去。第二個數2是質數留下來，而把2后面所有能被2整除的數都劃去。2后面第一個沒劃去的數是3，把3留下，再把3后面所有能被3整除的數都劃去。3后面第一個沒劃去的數是5，把5留下，再把5后面所有能被5整除的數都劃去。這樣一直做下去，就會把不超過N的全部合數都篩掉，留下的就是不超過N的全部質數。因為希臘人是把數寫在涂臘的板上，每要劃去一個數，就在上面記以小點，尋求質數的工作完畢后，這許多小點就像一個篩子，所以就把埃拉托斯特尼的方法叫做“埃拉托斯特尼篩”，簡稱“篩法”。（另一種解釋是當時的數寫在紙草上，每要劃去一個數，就把這個數挖去，尋求質數的工作完畢后，這許多小洞就像一個篩子。）

用C++實現篩選法：
以通過篩選法求100以內的素數為例

復制代碼代碼如下:

#include<iostream>
using namespace std;
int main()
{
 int i,j,a[101];//這里定義101大小的數組，是為了和自然數相對應，即：a[2]對應自然數2
 for(i=2;i<100;i++) 
     a[i]=1;//完成對數組的初始化操作
 for(i=2;i<100;i++){
  for(j=2*i;j<100;j+=i){
   a[j]=0;//對相應的倍數進行排除 
  }
 } 
 //執行輸出操作 
 for(i=2;i<100;i++){
  if(a[i])
  cout<<i<<'/t';
 } 
 cout<<endl;
 return 0;
} 

一些思考和優化
以前學習計算素數的算法的時候，有一個比較普遍的優化的算法。

也就是用

復制代碼代碼如下:

for(i=1;i<(j/2);i++)

或者

復制代碼代碼如下:

for(i=1;i<sqrt(j);i++)//使用sqrt()函數需要引入math.h這個頭文件

來替代

復制代碼代碼如下:

for(i=1;i<j;i++)

可以顯著的降低算法的復雜度

一開始直接使用，不知道是什么原理。后來看了看，原來原理是這樣的：

以sqrt(j)代替i為例

求素數最基本的方法，是用i去除以2到j-1之間的所有的整數，如果有可以整除的情況，則不是素數；如果都不可以整除，則是素數。

而i=sqrt(j)*sqrt(j)

我們用i去除以2到sqrt(j)之間的所有的整數，這就可以覆蓋2到i-1之間的所有的整數。

設2<k<sqrt(j)，則若j%k==0，則sqrt(j)<m=(j%k)<j-1。

也就是說，因為是除法運算求整除的運算，所以除以小的可以整除，可就是除以相應的大的可以整除。

優化之后的代碼：

復制代碼代碼如下:

#include<iostream>
#include<math.h> 
using namespace std;
int main()
{
 int i,j,a[101];//這里定義101大小的數組，是為了和自然數相對應，即：a[2]對應自然數2
 for(i=2;i<100;i++) 
     a[i]=1;//完成對數組的初始化操作
 for(i=2;i<sqrt(100);i++){
  for(j=2*i;j<100;j+=i){
   a[j]=0;//對相應的倍數進行排除 
  }
 } 
 //執行輸出操作 
 for(i=2;i<100;i++){
  if(a[i])
  cout<<i<<'/t';
 } 
 cout<<endl;
 return 0;
}