一、問題描述

子串應該比較好理解，至于什么是子序列，這里給出一個例子：有兩個母串

cnblogs

belong

比如序列bo, bg, lg在母串cnblogs與belong中都出現過并且出現順序與母串保持一致，我們將其稱為公共子序列。最長公共子序列（Longest Common Subsequence, LCS），顧名思義，是指在所有的子序列中最長的那一個。子串是要求更嚴格的一種子序列，要求在母串中連續地出現。在上述例子的中，最長公共子序列為blog（cnblogs, belong），最長公共子串為lo（cnblogs, belong）。

二、求解算法

對于母串X=<x1,x2,⋯,xm>X=<x1,x2,⋯,xm>, Y=<y1,y2,⋯,yn>Y=<y1,y2,⋯,yn> ，求LCS與最長公共子串。

暴力解法

假設 m<nm<n， 對于母串XX，我們可以暴力找出2m2m個子序列，然后依次在母串YY中匹配，算法的時間復雜度會達到指數級O(n∗2m)O(n∗2m) 。顯然，暴力求解不太適用于此類問題。

動態規劃

假設Z=<z1,z2,⋯,zk>Z=<z1,z2,⋯,zk>是XX與YY的LCS， 我們觀察到

     如果xm=ynxm=yn，則zk=xm=ynzk=xm=yn，有Zk−1Zk−1是Xm−1Xm−1與Yn−1Yn−1的LCS；

     如果xm≠ynxm≠yn，則ZkZk是XmXm與Yn−1Yn−1的LCS，或者是Xm−1Xm−1與YnYn的LCS。

因此，求解LCS的問題則變成遞歸求解的兩個子問題。但是，上述的遞歸求解的辦法中，重復的子問題多，效率低下。改進的辦法――用空間換時間，用數組保存中間狀態，方便后面的計算。這就是動態規劃（DP)的核心思想了。

DP 求解 LCS

用二維數組c[i][j]記錄串x1x2⋯xix1x2⋯xi與y1y2⋯yjy1y2⋯yj的LCS長度，則可得到狀態轉移方程

代碼實現

public static int lcs(String str1, String str2) { int len1 = str1.length(); int len2 = str2.length(); int c[][] = new int[len1+1][len2+1]; for (int i = 0; i <= len1; i++) { for( int j = 0; j <= len2; j++) {  if(i == 0 || j == 0) {  c[i][j] = 0;  } else if (str1.charAt(i-1) == str2.charAt(j-1)) {  c[i][j] = c[i-1][j-1] + 1;  } else {  c[i][j] = max(c[i - 1][j], c[i][j - 1]);  } } } return c[len1][len2];}

DP 求解最長公共子串

前面提到了子串是一種特殊的子序列，因此同樣可以用DP來解決。定義數組的存儲含義對于后面推導轉移方程顯得尤為重要，糟糕的數組定義會導致異常繁雜的轉移方程。考慮到子串的連續性，將二維數組c[i][j]用來記錄具有這樣特點的子串――結尾同時也為為串x1x2⋯xix1x2⋯xi與y1y2⋯yjy1y2⋯yj的結尾――的長度。

得到轉移方程：

最長公共子串的長度為 max(c[i,j]), i∈{1,⋯,m},j∈{1,⋯,n}max(c[i,j]), i∈{1,⋯,m},j∈{1,⋯,n} 。

代碼實現

public static int lcs(String str1, String str2) { int len1 = str1.length(); int len2 = str2.length(); int result = 0; //記錄最長公共子串長度 int c[][] = new int[len1+1][len2+1]; for (int i = 0; i <= len1; i++) { for( int j = 0; j <= len2; j++) {  if(i == 0 || j == 0) {  c[i][j] = 0;  } else if (str1.charAt(i-1) == str2.charAt(j-1)) {  c[i][j] = c[i-1][j-1] + 1;  result = max(c[i][j], result);  } else {  c[i][j] = 0;  } } } return result;}

總結

以上就是這篇文章的全部內容改了，希望本文的內容對大家的學習或者工作能帶來一定的幫助，如果有疑問大家可以留言交流。