浮點(diǎn)數(shù)如何存儲

浮點(diǎn)數(shù)的運(yùn)算完全不同于整數(shù)，從寄存器到指令，都有一套獨(dú)特的處理流程，浮點(diǎn)單元也稱作x87 FPU。

現(xiàn)在看浮點(diǎn)數(shù)的表示方式，我們所知道的，計算機(jī)使用二進(jìn)制存儲數(shù)據(jù)，所表示的數(shù)字都具有確定性，那是如何表示浮點(diǎn)這種具有近似效果的數(shù)據(jù)呢，答案是通過科學(xué)計數(shù)，科學(xué)計數(shù)由符號，尾數(shù)和指數(shù)表示，這三部分都是一個整數(shù)值，具體來看一下IEEE二進(jìn)制浮點(diǎn)標(biāo)準(zhǔn)：

以單精度為例，在內(nèi)存中的儲存格式如下（左邊為高位）：

	| 1位符號 | 8位指數(shù) | 23位尾數(shù) |
其中符號位1表示負(fù)數(shù)，0表示正數(shù)，這與整數(shù)形式的符號位意義相同； 科學(xué)計數(shù)法表示形式如 m * (b ^ e)，m為尾數(shù)，b為基數(shù)，e是指數(shù)，再二進(jìn)制中，基數(shù)毫無疑問是2，對單精度，指數(shù)為中間8位二進(jìn)制表示的數(shù)字，其中的尾數(shù)是形如1.1101 小數(shù)點(diǎn)后面的整數(shù)值。
關(guān)于指數(shù)，由于需要表示正負(fù)兩種數(shù)據(jù)，IEEE標(biāo)準(zhǔn)規(guī)定單精度指數(shù)以127為分割線，實(shí)際存儲的數(shù)據(jù)是指數(shù)加127所得結(jié)果，127為高位為零，后7位為1所得，其他雙精度也以此方式計算。
為了解釋內(nèi)存中浮點(diǎn)數(shù)的存儲方式，舉一個浮點(diǎn)數(shù)的例子說明：
float test = 123.456;int main(){    return 0;}
例子再簡單不過了，僅僅定義了一個全局的float類型，我們通過gcc -S test.c來生成匯編，看看123.456是如何存儲的，打開反匯編后的文件，看到符號_test后定義的數(shù)字是 1123477881（這里gcc定義成了long類型，不過沒有關(guān)系，因?yàn)槎际撬淖止?jié)數(shù)字，具體的類型還得看如何使用）?？梢允褂糜嬎闫靼咽M(jìn)制數(shù)字轉(zhuǎn)化為二進(jìn)制：0 10000101 11101101110100101111001，這里根據(jù)單精度的劃分方式把32位劃分成三部分，符號位為0，為正數(shù)，指數(shù)為 133，減去127得6，尾數(shù)加上1.，形式為1.11101101110100101111001，擴(kuò)大2 ^ 23次方為111101101110100101111001，十進(jìn)制16181625，后除以2 ^ (23 – 6) = 131072，結(jié)果為123.45600128173828125，與我們所定義的浮點(diǎn)數(shù)正好相符。
浮點(diǎn)寄存器
這里介紹了浮點(diǎn)數(shù)的二進(jìn)制表示，前面說過浮點(diǎn)單元計算使用獨(dú)立的寄存器，在寄存器那篇也稍有提及，這里詳細(xì)說明一下浮點(diǎn)單元的寄存器設(shè)施。
FPU有 8 個獨(dú)立尋址的80位寄存器，名稱分別為r0, r1, …, r7，他們以堆棧形式組織在一起，統(tǒng)稱為寄存器棧，編寫浮點(diǎn)指令時棧頂也寫為st(0)，最后一個寄存器寫作st(7)。
FPU另有3個16位的寄存器，分別為控制寄存器、狀態(tài)寄存器、標(biāo)記寄存器，現(xiàn)一一詳細(xì)說明此三個寄存器的作用：
狀態(tài)寄存器，為用戶記錄浮點(diǎn)計算過程中的狀態(tài)，其中各位的含義如下：
0 —— 非法操作異常1 —— 非規(guī)格化操作數(shù)異常2 —— 除數(shù)為0異常3 —— 溢出標(biāo)志異常4 —— 下溢標(biāo)志異常5 —— 精度異常標(biāo)志6 —— 堆棧錯誤7 —— 錯誤匯總狀態(tài)8 —— 條件代碼位0（c0）9 —— 條件代碼位1（c1）10 —— 條件代碼位2 （c2）11-13 —— 堆棧頂指針14 —— 條件代碼位3（c3）15 —— 繁忙標(biāo)志
其中讀取狀態(tài)寄存器內(nèi)容可使用 fstsw %ax
控制寄存器的位含義如下：
0 —— 非法操作異常掩碼 1 —— 非法格式化異常掩碼 2 —— 除數(shù)為0異常掩碼 3 —— 溢出異常掩碼 4 —— 下溢異常掩碼 5 —— 精度異常亞曼 6-7 —— 保留 8-9 —— 精度控制（00單精度，01未使用，10雙精度，11擴(kuò)展精度） 10-11 —— 舍入控制（00舍入到最近，01向下舍入，10向上舍入，11向0舍入） 12 —— 無窮大控制 13–15 —— 保留
其中讀取控制寄存器和設(shè)置控制寄存器的指令如下：
# 加載到內(nèi)存fstcw control# 加載到控制器fldcw control
最后的標(biāo)志寄存器最為簡單，分別0-15位分別標(biāo)志r0-r7共8個寄存器，每個寄存器占2位，這兩位的含義如下：
11 —— 合法擴(kuò)展精度 01 —— 零 10 —— 特殊浮點(diǎn) 11 —— 無內(nèi)容
另外對浮點(diǎn)寄存器的一些控制指令如下：
# 初始化fpu，控制、狀態(tài)設(shè)為默認(rèn)值，但不改變fpu的數(shù)據(jù)finit# 恢復(fù)保存環(huán)境fldenv bufferfstenv buffer#清空浮點(diǎn)異常fnclex#fpu狀態(tài)保存fssave
fstenv 保存控制寄存器、狀態(tài)寄存器、標(biāo)記寄存器、FPU指令指針偏移量、FPU數(shù)據(jù)指針，F(xiàn)PU最后執(zhí)行的操作碼到內(nèi)存中。
浮點(diǎn)數(shù)指令
接下來將要詳細(xì)說明其計算過程，要計算數(shù)據(jù)首先得看如何從內(nèi)存中加載數(shù)據(jù)到寄存器，同時把結(jié)果從寄存器取出到內(nèi)存，除了加載內(nèi)存中的浮點(diǎn)數(shù)據(jù)指令，另外還有一些常量的加載，現(xiàn)列舉如下：
指令
說明
finit
初始化控制和狀態(tài)寄存器，不改變fpu數(shù)據(jù)寄存器
fstcw control
將控制寄存器內(nèi)容放到內(nèi)存control處
fstsw status
將狀態(tài)寄存器內(nèi)容放到內(nèi)存status處
flds value
加載內(nèi)存中的單精浮點(diǎn)到fpu寄存器堆棧
fldl value
加載內(nèi)存中的雙精浮點(diǎn)到fpu寄存器堆棧
fldt value
加載內(nèi)存中的擴(kuò)展精度點(diǎn)到fpu寄存器堆棧
fld %st(i)
將%st(i)寄存器數(shù)據(jù)壓入fpu寄存器堆棧
fsts value
單精度數(shù)據(jù)保存到value，不出棧
fstl value
雙精度數(shù)據(jù)保存到value，不出棧
fstt value
擴(kuò)展精度數(shù)據(jù)保存到value，不出棧
fstps value
單精度數(shù)據(jù)保存到value，出棧
fstpl value
雙精度數(shù)據(jù)保存到value，出棧
fstpt value
擴(kuò)展精度數(shù)據(jù)保存到value，出棧
fxch %st(i)
交換%st(0)和%st(i)
fld1
把 +1.0 壓入 FPU 堆棧中
fldl2t
把 10 的對數(shù)(底數(shù)2)壓入 FPU 堆棧中
fldl2e
把 e 的對數(shù)(底數(shù)2)壓入 FPU 堆棧中
fldpi
把 pi 的值壓入 FPU 堆棧中
fldlg2
把 2 的對數(shù)(底數(shù)10)壓入 FPU 堆棧中
fldln2
把 2 的對數(shù)(底數(shù)e) 壓入堆棧中
fldz
把 +0.0 壓入壓入堆棧中
以上指令雖多，但是還是很有規(guī)律，前綴f表示fpu操作，ld加載，st保存設(shè)置，p后綴彈出堆棧，s、l、t后綴表示單精度，雙精度，擴(kuò)展精度，c后綴表 示控制寄存器，s后綴表示狀態(tài)寄存器。當(dāng)然這僅僅是對AT&T語法而言，對MASM語法沒有s，l，t之分，需要使用type ptr來指明精度，即內(nèi)存大小。
學(xué)會靈活的加載彈出數(shù)據(jù)堆棧后，接下來就要看一些基本的計算：
fadd    浮點(diǎn)加法fdiv    浮點(diǎn)除法fdivr   反向浮點(diǎn)除法fmul    浮點(diǎn)乘法fsub    浮點(diǎn)減法fsubr   反向浮點(diǎn)減法
對于以上的每種指令，有幾種指令格式，以fadd為例，列舉如下：
# 內(nèi)從中的32位或者64位值和%st(0)相加fadd source# 把%st(x)和%st(0)相加，結(jié)果存入%st(0)fadd %st(x), %st(0)# 把%st(0)和%st(x)相加，結(jié)果存入%st(x)fadd %st(0), %st(x)# 把%st(0)和%st(x)相加，結(jié)果存入%st(x)，彈出%st(0)faddp %st(0), %st(x)# 把%st(0)和%st(1)相加，結(jié)果存入%st(1)，彈出%st(0)faddp# 把16位或32位整數(shù)與%st(0)相加，結(jié)果存入%st(0)fiadd source
這僅僅是對AT&T語法而言，對MASM源操作數(shù)與目的操作數(shù)相反！另外，對AT&T，與內(nèi)存相關(guān)指令可加s、l指定內(nèi)存精度。其中反向加法和反向除法是計算過程中目的與源反向計算。
浮點(diǎn)計算例子
接下來舉一個AT&T語法的例子，來計算表達(dá)式的值 ( 12.34 * 13 ) + 334.75 ) / 17.8 ：
# ( 12.34 * 13 ) + 334.75 ) / 17.8.section .data    values: .float 12.34, 13, 334.75, 17.8    result: .double 0.0    outstring: .asciz "result is %f/n".section .text.globl _main_main:    leal values, %ebx    flds 12(%ebx)    flds 8(%ebx)    flds 4(%ebx)    flds (%ebx)    fmulp    faddp    fdivp %st(0), %st(1)    fstl result    leal result, %ebx    pushl 4(%ebx)    pushl (%ebx)    pushl $outstring    call _PRintfend:    pushl $0    call _exit
前四個flds加載所有的數(shù)據(jù)到寄存器堆棧，可以單步運(yùn)行并是用gdb的print $st0打印堆棧寄存器的值，可以看到為什么是堆棧寄存器。需要說明的是由于printf的%f是double類型的輸出，所以最后要把一個8字節(jié)浮點(diǎn)放 到棧中傳遞，最終結(jié)果為27.818541，可以看到與計算器計算的結(jié)果近似相等。
浮點(diǎn)高級運(yùn)算
除了基本的浮點(diǎn)計算，x87還提供了一些諸如余弦運(yùn)算等高級計算功能：
指令
說明
f2xm1
計算2的乘方（次數(shù)為st0中的值，減去1
fabs
計算st0中的絕對值
fchs
改變st0中的值的符號
fcos
計算st0中的值的余弦
fpatan
計算st0中的值的部分反正切
fprem
計算st0中的值除以st1的值的部分余數(shù)
fprem1
計算st0中的值除以st1的值的IEEE部分余弦
fptan
計算st0中的值的部分正切
frndint
把st0中的值舍入到最近的整數(shù)
fscale
計算st0乘以2的st1次方
fsin
計算st0中的值的正弦
fsincos
計算st0中的值的正弦和余弦
fsqrt
計算st0中的值的平方根
fyl2x
計算st1*log st0 以2為底
fyl2xp1
計算st1*log (st0 + 1) 以2為底
下面來看一下浮點(diǎn)條件分支，浮點(diǎn)數(shù)的比較不像整數(shù)，可以容易的使用cmp指令比較，判斷eflags的值，關(guān)于浮點(diǎn)數(shù)比較，fpu提供獨(dú)立的比較機(jī)制和指令，現(xiàn)對這組比較指令進(jìn)行說明：
指令
說明
fcom
比較st0和st1寄存器的值
fcom %st(x)
比較st0和stx寄存器的值
fcom source
比較st0和32/64位內(nèi)存值
fcomp
比較st0和st1寄存器的值，并彈出堆棧
fcomp %st(x)
比較st0和stx寄存器的值，并彈出堆棧
fcomp source
比較st0和32/64位內(nèi)存值，并彈出堆棧
fcompp
比較st0和st1寄存器的值，并兩次彈出堆棧
ftst
比較st0和0.0
浮點(diǎn)數(shù)比較的結(jié)果放入狀態(tài)寄存器的c0，c2，c3條件代碼位中，其值如下：
結(jié)果
c3
c2
c0
st0 > source
0
0
0
st0 < source
0
0
1
st0 = source
1
0
0
如此倘若直接判斷c0，c2，c3的值比較繁瑣，所以可以使用一些技巧，首先使用fstsw指令獲得fpu狀態(tài)寄存器的值并存入ax，再使用sahf指令把 ah寄存器中的值加載到eflags寄存器中，sahf指令把a(bǔ)h寄存器的第0、2、4、6、7分別傳送至進(jìn)位、奇偶、對準(zhǔn)、零、符號位，不影響其他標(biāo) 志，ah寄存器中這些位剛好包含fpu狀態(tài)寄存器的條件代碼值，所以通過fstsw和sahf指令組合，可以傳送如下值：
把c0位傳送到eflags的進(jìn)位標(biāo)志 把c2位傳送到eflags的奇偶校驗(yàn)標(biāo)志 把c3位傳送到eflags的零標(biāo)志
傳送完畢后，可以用條件跳轉(zhuǎn)使用不同的結(jié)果值，另外需要說明的是浮點(diǎn)數(shù)相等判斷，因?yàn)楦↑c(diǎn)數(shù)本身存儲結(jié)構(gòu)決定了它僅僅是一個近似值，所以不能直接判斷是否相 等，這樣可能與自己預(yù)期的結(jié)果不同，應(yīng)該判斷兩個浮點(diǎn)數(shù)之差是否在一個很小的誤差范圍內(nèi)，來決定這兩個浮點(diǎn)數(shù)是否相等。
根據(jù)上面的技巧，使用fstsw和fpu指令組合，可以方便的使用浮點(diǎn)判斷結(jié)果，這對我們是一種便利，而intel的工程師又為我們設(shè)計了一個組合指令，fcomi指令執(zhí)行浮點(diǎn)比較結(jié)果并把結(jié)果存放到eflags寄存器的進(jìn)位，奇偶，和零標(biāo)志。
指令
說明
fcomi
比較st0和stx寄存器的值
fcomip
比較st0和stx寄存器，并彈出堆棧
fucomi
比較之前檢查無序值
fucomip
比較之前檢查無序值，之后彈出堆棧
判斷結(jié)束后eflags的標(biāo)志設(shè)置如下：
結(jié)果
ZF
PF
CF
st0 > st(x)
0
0
0
st0 < st(x)
0
0
1
st0 = st(x)
1
0
0
CMOV移動指令
最后介紹的是類似cmov的指令，根據(jù)判斷結(jié)果決定是否需要移動數(shù)據(jù)，其AT&T格式為 fcmovxx source, destination，其中source是st(x)寄存器，destination是st(0)寄存器。
指令
說明
fcmovb
如果st(0)小于st(x)，則進(jìn)行傳送
fcmove
如果st(0)等于st(x)，則進(jìn)行傳送
fcmovbe
如果st(0)小于或等于st(x)，則進(jìn)行傳送
fcmovu
如果st(0)無序，則進(jìn)行傳送
fcmovnb
如果st(0)不小于st(x)，則進(jìn)行傳送
fcmovne
如果st(0)不等于st(x)，則進(jìn)行傳送
fcmovnbe
如果st(0)不小于或等于st(x)，則進(jìn)行傳送
fcmovnu
如果st(0)非無序，則進(jìn)行傳送
以上可以看出，無論從寄存器的操作，還是計算過程，都比整數(shù)運(yùn)算要繁瑣的多，而且看似很簡單的一個表達(dá)式，轉(zhuǎn)化成浮點(diǎn)匯編需要做很多工作，由于其復(fù)雜性，同 一個表達(dá)式可以有多種運(yùn)算過程，當(dāng)然其中的效率相差很大，這依賴于對浮點(diǎn)匯編的理解程度，好在有高級語言處理相關(guān)工作，編寫浮點(diǎn)指令的情況比較少見。