這篇文章將要介紹梅森素數的定義以及在Python中實現的方法。

一、梅森素數

梅森數（M_n）指的是形如2ⁿ - 1的正整數，其中指數 n 是素數。

如果一個梅森數是素數，則稱其為梅森素數。例如2²-1=3、2³-1=7都是梅森素數。

當n=2，3，5，7時，M_n都是素數，但n = 11時，M_n = M₁₁ = 2¹¹ - 1 = 2047 = 23 × 89，顯然 M₁₁ 不是梅森素數。

目前僅發現 51 個梅森素數，最大的是 M_82589933 （即2的82589933次方減1），有24862048位。

梅森素數歷來都是數論研究中的一項重要內容，也是當今科學探索中的熱點和難點問題。

（以上來自 @潘石屹 微博話題 #潘石屹用Python解決100個問題#）

二、在Python中的實現方法

以下是實現求指數 n < 20 以內的所有梅森素數的源代碼。

import math

# 定義判斷一個數是否為素數的函數
def isprime(num):
    tmp = int(math.sqrt(num))
    for i in range(2, tmp + 1):
        if num % i == 0:
            return False
    return True

N = 20  # 定義指數n的最大值
for n in range(2, N + 1):
    if isprime(n): # 指數n是否為素數
        mn = pow(2, n) - 1  # 求出梅森數
        if isprime(mn): # 梅森數也是素數，則輸出
            print(f"n={n}, M{n}={mn}")

以上程序執行的結果如下：

n=2, M2=3
n=3, M3=7
n=5, M5=31
n=7, M7=127
n=13, M13=8191
n=17, M17=131071
n=19, M19=524287從運行結果來看，指數為20以內的梅森素數共7個。你可以接著往下找，第8個是 M31 = 21 4748 3647，第9個是M61 = 230 5843 0092 1369 3951，再下一個，武林網VEVB沒找出來，指數是不是在100以內也不知道。

三、說明

因為梅森素數很稀有，尋找起來也很費時，上面查找指數在20以內的梅森素數在個人電腦上約在1秒左右就可以完成。第8個約需要0.35秒，第9個約需130秒，下一個運行了很長時間，改進了求素數的算法，仍然沒有找出來。下圖是在運行多次后截圖的情況：

本文（完）