冒泡排序的算法分析與改進

交換排序的基本思想是：兩兩比較待排序記錄的關鍵字，發現兩個記錄的次序相反時即進行交換，直到沒有反序的記錄為止。
應用交換排序基本思想的主要排序方法有：冒泡排序和快速排序。

冒泡排序

1、排序方法

將被排序的記錄數組R[1..n]垂直排列，每個記錄R看作是重量為R.key的氣泡。根據輕氣泡不能在重氣泡之下的原則，從下往上掃描數組R：凡掃描到違反本原則的輕氣泡，就使其向上"飄浮"。如此反復進行，直到最后任何兩個氣泡都是輕者在上，重者在下為止。

（1）初始

R[1..n]為無序區。

（2）第一趟掃描

從無序區底部向上依次比較相鄰的兩個氣泡的重量，若發現輕者在下、重者在上，則交換二者的位置。即依次比較(R[n]，R[n-1])，(R[n-1]，R[n-2])，…，(R[2]，R[1])；對于每對氣泡(R[j+1]，R[j])，若R[j+1].key<R[j].key，則交換R[j+1]和R[j]的內容。
第一趟掃描完畢時，"最輕"的氣泡就飄浮到該區間的頂部，即關鍵字最小的記錄被放在最高位置R[1]上。

（3）第二趟掃描

掃描R[2..n]。掃描完畢時，"次輕"的氣泡飄浮到R[2]的位置上……
最后，經過n-1 趟掃描可得到有序區R[1..n]
注意：第i趟掃描時，R[1..i-1]和R[i..n]分別為當前的有序區和無序區。掃描仍是從無序區底部向上直至該區頂部。掃描完畢時，該區中最輕氣泡飄浮到頂部位置R上，結果是R[1..i]變為新的有序區。

2、冒泡排序過程示例

對關鍵字序列為49 38 65 97 76 13 27 49的文件進行冒泡排序的過程

3、排序算法

（1）分析

因為每一趟排序都使有序區增加了一個氣泡，在經過n-1趟排序之后，有序區中就有n-1個氣泡，而無序區中氣泡的重量總是大于等于有序區中氣泡的重量，所以整個冒泡排序過程至多需要進行n-1趟排序。
若在某一趟排序中未發現氣泡位置的交換，則說明待排序的無序區中所有氣泡均滿足輕者在上，重者在下的原則，因此，冒泡排序過程可在此趟排序后終止。為此，在下面給出的算法中，引入一個布爾量exchange，在每趟排序開始前，先將其置為FALSE。若排序過程中發生了交換，則將其置為TRUE。各趟排序結束時檢查exchange，若未曾發生過交換則終止算法，不再進行下一趟排序。

（2）具體算法

4、算法分析

（1）算法的最好時間復雜度
若文件的初始狀態是正序的，一趟掃描即可完成排序。所需的關鍵字比較次數C和記錄移動次數M均達到最小值：
Cmin=n-1
Mmin=0。
冒泡排序最好的時間復雜度為O(n)。
（2）算法的最壞時間復雜度
若初始文件是反序的，需要進行n-1趟排序。每趟排序要進行n-i次關鍵字的比較(1≤i≤n-1)，且每次比較都必須移動記錄三次來達到交換記錄位置。在這種情況下，比較和移動次數均達到最大值：
Cmax=n(n-1)/2=O(n2)
Mmax=3n(n-1)/2=O(n2)
冒泡排序的最壞時間復雜度為O(n2)。
（3）算法的平均時間復雜度為O(n2)
雖然冒泡排序不一定要進行n-1趟，但由于它的記錄移動次數較多，故平均時間性能比直接插入排序要差得多。
（4）算法穩定性
冒泡排序是就地排序，且它是穩定的。
5、算法改進
上述的冒泡排序還可做如下的改進：
(1)記住最后一次交換發生位置lastExchange的冒泡排序
在每趟掃描中，記住最后一次交換發生的位置lastExchange，（該位置之前的相鄰記錄均已有序）。下一趟排序開始時，R[1..lastExchange-1]是有序區，R[lastExchange..n]是無序區。這樣，一趟排序可能使當前有序區擴充多個記錄，從而減少排序的趟數。具體算法【參見習題】。
(2) 改變掃描方向的冒泡排序
①冒泡排序的不對稱性
能一趟掃描完成排序的情況：
只有最輕的氣泡位于R[n]的位置，其余的氣泡均已排好序，那么也只需一趟掃描就可以完成排序。
【例】對初始關鍵字序列12，18，42，44，45，67，94，10就僅需一趟掃描。
需要n-1趟掃描完成排序情況：
當只有最重的氣泡位于R[1]的位置，其余的氣泡均已排好序時，則仍需做n-1趟掃描才能完成排序。
【例】對初始關鍵字序列：94，10，12，18，42，44，45，67就需七趟掃描。
②造成不對稱性的原因
每趟掃描僅能使最重氣泡"下沉"一個位置，因此使位于頂端的最重氣泡下沉到底部時，需做n-1趟掃描。
③改進不對稱性的方法
在排序過程中交替改變掃描方向，可改進不對稱性。
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