首先我們舉個例子：
我們可以看到西蘭花一小簇是整個花簇的一個分支，而在不同尺度下它們具有自相似的外形。換句話說，較小的分支通過放大適當的比例后可以得到一個與整體幾乎完全一致的花簇。因此我們可以說西蘭花簇是一個分形的實例。
分形一般有以下特質：
在任意小的尺度上都能有精細的結構； 太不規則，以至難以用傳統歐氏幾何的語言描述； （至少是大略或任意地）自相似豪斯多夫維數會大於拓撲維數； 有著簡單的遞歸定義。
（i）分形集都具有任意小尺度下的比例細節，或者說它具有精細的結構。
（ii）分形集不能用傳統的幾何語言來描述，它既不是滿足某些條件的點的軌跡，也不是某些簡單方程的解集。
（iii）分形集具有某種自相似形式，可能是近似的自相似或者統計的自相似。
（iv）一般，分形集的“分形維數”，嚴格大于它相應的拓撲維數。
（v）在大多數令人感興趣的情形下，分形集由非常簡單的方法定義，可能以變換的迭代產生。
用java寫分形時，不同的圖形根據不同的畫法調用遞歸來實現，如：
科赫曲線：
public void draw1(int x1, int y1, int x2, int y2,int depth) {//科赫曲線 keleyi.com
g.drawLine(x1, y1, x2, y2);
if (depth<=1)
return;
else {//得到三等分點
double x11 = (x1 * 2 + x2) / 3;
double y11 = (y1 * 2 + y2) / 3;
double x22 = (x1 + x2 * 2) / 3;
double y22 = (y1 + y2 * 2) / 3;
double x33 = (x11 + x22) / 2 - (y11 - y22) * Math.sqrt(3) / 2;
double y33 = (y11 + y22) / 2 - (x22 - x11) * Math.sqrt(3) / 2;
g.setColor(j.getBackground());
g.drawLine((int) x1, (int) y1, (int) x2, (int) y2);
g.setColor(Color.black);
draw1((int) x1, (int) y1, (int) x11, (int) y11,depth-1);
draw1((int) x11, (int) y11, (int) x33, (int) y33,depth-1);
draw1((int) x22, (int) y22, (int) x2, (int) y2,depth-1);
draw1((int) x33, (int) y33, (int) x22, (int) y22,depth-1);
}
}
正方形：
public void draw2(int x1, int y1, int m,int depth) {//正方形 keleyi.com
g.fillRect(x1, y1, m, m);
m = m / 3;
if (depth<=1)
return;
else{
double x11 = x1 - 2 * m;
double y11 = y1 - 2 * m;
double x22 = x1 + m;
double y22 = y1 - 2 * m;
double x33 = x1 + 4 * m;
double y33 = y1 - 2 * m;
double x44 = x1 - 2 * m;
double y44 = y1 + m;
double x55 = x1 + 4 * m;
double y55 = y1 + m;
double x66 = x1 - 2 * m;
double y66 = y1 + 4 * m;
double x77 = x1 + m;
double y77 = y1 + 4 * m;
double x88 = x1 + 4 * m;
double y88 = y1 + 4 * m;
draw2((int) x11, (int) y11, (int) m,depth-1);
draw2((int) x22, (int) y22, (int) m,depth-1);
draw2((int) x33, (int) y33, (int) m,depth-1);
draw2((int) x44, (int) y44, (int) m,depth-1);
draw2((int) x55, (int) y55, (int) m,depth-1);
draw2((int) x66, (int) y66, (int) m,depth-1);
draw2((int) x77, (int) y77, (int) m,depth-1);
draw2((int) x88, (int) y88, (int) m,depth-1);
}
}
謝冰斯基三角形：
public void draw3(int x1,int y1,int x2,int y2,int x3,int y3,int depth){//三角形 keleyi.com
double s = Math.sqrt((x2 - x1) * (x2 - x1) + (y2 - y1) * (y2 - y1));
g.drawLine(x1,y1,x2,y2);
g.drawLine(x2,y2,x3,y3);
g.drawLine(x1,y1,x3,y3);
// if(s<3)
// return;
if (depth<=1)
return;
else
{
/*
* 上面的三角形
*/
double x11=(x1*3+x2)/4;
double y11=y1-(s/4)*Math.sqrt(3);
double x12=(x1+x2*3)/4;
double y12=y11;
double x13=(x1+x2)/2;
double y13=y1;
/*
* 左邊的三角形
*/
double x21=x1-s/4;
double y21=(y1+y3)/2;
double x22=x1+s/4;
double y22=y21;
double x23=x1;
double y23=y3;
/*
* 右邊的三角形
*/
double x31=x2+s/4;
double y31=(y1+y3)/2;
double x32=x2-s/4;
double y32=y21;
double x33=x2;
double y33=y3;
draw3((int)x11,(int)y11,(int)x12,(int)y12, (int)x13, (int)y13, depth-1);
draw3((int)x21,(int)y21,(int)x22,(int)y22, (int)x23, (int)y23, depth-1);
draw3((int)x31,(int)y31,(int)x32,(int)y32, (int)x33, (int)y33, depth-1);
}
}
科赫曲線是一種外形像雪花的幾何曲線，所以又稱為雪花曲線，它是分形曲線中的一種，具體畫法如下：
1、任意畫一個正三角形，并把每一邊三等分；
2、取三等分后的一邊中間一段為邊向外作正三角形，并把這“中間一段”擦掉；
3、重復上述兩步，畫出更小的三角形。
4、一直重復，直到無窮，所畫出的曲線叫做科赫曲線。
小結：分形是個很好玩的東西，根據自己的奇妙想象可以畫出很多很好看的圖形，不僅僅是已經存在的，你可以創造出屬于你自己的圖形！
